Lo siguiente es el Teorema $2.8$ en el Capítulo 13 de "Introducción a la Teoría de Conjuntos" de Hrbacek y Jech (3ra edición):
Teorema $\bf{2.8}$ Sea $\kappa$ un cardinal medible. Si $T$ es un árbol de altura $\kappa$ tal que cada nodo tiene menos de $\kappa$ sucesores inmediatos, entonces $T$ tiene una rama de longitud $\kappa$.
La prueba comienza con:
Prueba. $\;$ Para cada $\alpha \lt \kappa$, sea $T_{\alpha}$ el conjunto de todos los $s \in T$ de altura $\alpha$. Dado que $\kappa$ es un cardinal fuertemente inaccesible, se sigue, por inducción en $\alpha$, que $\vert T_{\alpha}\vert \lt \kappa$ para todo $\alpha \lt \kappa$.
Me cuesta entender por qué esto es cierto para $T_{\alpha}$, donde $\alpha$ es un ordinal límite. Si, para cada $x, y \in T_{\alpha}$, $\{z \in T \; \vert \; z \lt x\}$ = $\{z \in T \; \vert \; z \lt y\}$ implica $x = y$, entonces he logrado acotar el tamaño de $T_{\alpha}$, dado que $\kappa$ es fuertemente inaccesible. Pero ¿cómo se acota $\vert T_{\alpha}\vert$ cuando cada conjunto de predecesores puede corresponder a múltiples elementos de $T_{\alpha}$?
