Ampliación de homomorfismo en subgrupo al grupo completo

Question

Estaba trabajando en homomorfismos y conceptos relacionados y me preguntaba si existen algunos buenos criterios que involucren $H$ y $G_{1}$ que garanticen que todos los homomorfismos $\phi$ en el subgrupo $H$ de $G_{1}$ en un grupo arbitrario $G_{2}$ puedan extenderse a un homomorfismo $\bar{\phi}$ desde todo $G_{1}$ hasta $G_{2}$.

Y solo para ser claro: Cuando hablo de una extensión, quiero decir que requiero que $\bar{\phi}$ restringido a H se reduzca a $\phi$.

Mi conjetura actual es que esto es posible para todos los homomorfismos en $H$ si y solo si existe un subgrupo normal $N$ de $G_{1}$ tal que $H$ es isomorfo a $G_{1}/N$

Los criterios ciertamente son suficientes ya que entonces $G_{1}$ es el producto semidirecto de H y N y al mapear todos los elementos en N a la identidad en $G_{2}$ se construye un homomorfismo. No he podido producir una prueba de que también sea necesario. ¿Alguna idea o argumento a favor o en contra de la conjetura?

Editar: Como se indica en la respuesta a continuación, mi criterio para que sea un producto semidirecto es en realidad incorrecto. Necesitas que la proyección canoncial h $\mapsto$ [h] sea un isomorfismo. Esto garantiza una intersección trivial y G = NH

Answer 1

Su conjetura es casi verdadera. Pero necesitas algo más que solo $G/N$ isomorfo a $H$. Mira abajo de la línea.

Explícitamente:

El grupo $G_1$ y el subgrupo $H$ satisfacen la propiedad indicada si y solo si existe un subgrupo normal $N$ de $G_1$ tal que $G_1=NH$ y $N\cap H=\{e\}$. Es decir, $H$ debe ser retracción de $G_1$ (gracias a Moishe Kohan).

La suficiencia sigue como indicas.

Para la necesidad, como es usual con este tipo de afirmaciones, la clave es elegir una elección particular (¿inteligente?) de $G_2$ y $\phi$ para forzar la conclusión deseada.

Supongamos que $H$ y $G_1$, con $H\leq G_1$, tienen la propiedad de que para cada grupo $G_2$ y cada morfismo $\phi\colon H\to G_2$ existe un morfismo $\psi\colon G_1\to G_2$ tal que $\psi|_{H} = \phi$.

Tomamos $G_2=H$, y $\phi=\mathrm{id}_H$. Entonces existe $\psi\colon G_1\to H$ tal que $\psi|_{H}=\mathrm{id}_H$. En particular, si componemos $\iota\colon H\hookrightarrow G_1$ con $\psi$, obtenemos $\psi\circ\iota\colon H\to H$ y $\psi\circ\iota(h) = \psi(h) = h$ para todo $h\in H$. Es decir, $\psi$ descompone la incrustación $\iota\colon H\hookrightarrow G_1$.

Sea $N=\mathrm{ker}(\psi)$. Entonces $N\cap H=\{e\}$. Dado $g\in G_1$, tenemos que $g(\iota(\psi(g))^{-1}\in N$, ya que $$\psi(g)\psi(\iota(\psi(g)))^{-1} = \psi(g)\psi(g)^{-1}=e;$$ así, $g\in NH$. Por lo tanto, $G_1=NH$, $N\triangleleft G_1$, y $N\cap H=\{e\}$. Por lo tanto, $G_1/N\cong H$, como se deseaba.

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El error en tu argumento para la suficiencia es que estás afirmando que $G/N\cong H$ implica que $G$ es un producto semidirecto interno de $N$ por $H$. Esto no es cierto en general.

Por ejemplo, toma $G=Q_8$, el grupo de cuaterniones de orden $8$, y deja $H=\{1,-1\}$. Entonces $G$ contiene cuatro subgrupos normales diferentes $N$ con $G/N\cong H$, pero sabemos que $G$ no es un producto semidirecto. No puedes extender el mapa identidad de $H$ a un homomorfismo $Q_8\to C_2$; puedes mapear $Q_8$ a $C_2$, pero no extenderá el mapa identidad de $H$ porque $H$ está contenido en todos los subgrupos normales no triviales de $Q_8$. No puedes descomponer $Q_8$ como un producto semidirecto interno.

Así que necesitas más que solo $G/N$ isomorfo a $H$; necesitas que la proyección se divida. Es decir, necesitas que $G$ sea el producto semidirecto interno de $N$ por $H$.