¿Es $\lim (\text{max}\{ f \}) = \text{max}\{(\lim f)\}$?

Question

Estoy tratando de demostrar alguna afirmación de mi clase de ecuaciones diferenciales, y en alguna parte de la prueba utilicé que, siendo cada $f_n(x,y)$ una función continua definida sobre un conjunto compacto $\Omega$,

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \text{max}\{|f_n(x,y)| : (x,y)\in\Omega\} = \text{max}\{|\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x,y)|: (x,y)\in\Omega\ \}.$$ Pensé que esto es cierto, pero no sé cómo justificarlo, o si solo es cierto cuando $f$ es continua o algo así. ¿Es esto cierto en general? Si no, ¿bajo qué condiciones es cierto? Cualquier ayuda será apreciada, gracias de antemano.

Answer 1

Basado en la útil sugerencia de Zwim, propongo aquí una demostración para su identidad bajo la suposición de convergencia uniforme. Es decir.

Teorema. Supongamos que

• $\Omega$ es compacto
• Las funciones continuas $f_n$ convergen uniformemente a la función continua $f$, es decir. $$\sup_{x\in \Omega} |f_n(x)-f(x)| \xrightarrow{n\rightarrow +\infty} 0.$$

Sean $x^*_n$ y $x^*$ los maximizadores de $f_n$ y $f$, respectivamente (están bien definidos ya que $f_n$ y $f$ son continuas y $\Omega$ es compacto). Entonces $$\lim_n f_n(x^*_n)= f(x^*)$$

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Prueba.

Primero, observemos que $x^*_n$ es un maximizador de $f_n$ y $f_n$ converge uniformemente a $f$, obtenemos \begin{align} \lim_n f_n(x^*_n) \geq \lim_n f_n(x^*)= f(x^*). \end{align}

Segundo, como $x^*$ es un minimizador de $f$ obtenemos \begin{align} f(x^*) & \geq f(x^*_n) \Rightarrow f(x^*) \geq \lim_n f(x^*_n)= \lim_n f_n(x^*_n). \end{align} Aquí la última igualdad es consecuencia de la convergencia uniforme \begin{align} |f(x^*_n)-f_n(x^*_n)|\leq \sup_{x\in \Omega} |f(x)-f_n(x)| \xrightarrow{n\rightarrow +\infty} 0 \end{align}

La prueba está completada.

Answer 2

Llevar $f_n(x)=n\,x^n(1-x)$ en $[0,1]$ luego $f_n$ converge simplemente a $0$ mientras que el otro límite es $\frac 1e$

(es decir, el máximo se alcanza en $f_n(\frac n{n+1}$)) : https://www.desmos.com/calculator/ckapsmstdn

Agregar otra variable $y$ no cambia el trato.

Dado que se involucra el máximo o equivalente la norma $||\cdot||_\infty$, entonces la convergencia uniforme para $f_n$ probablemente sea necesaria.