¿Cómo mostrar que estos grupos son isomorfos?

Question

Mostrar que el grupo de todas las matrices reales de la forma $$ \begin{bmatrix} x & y\\ -y & x \end{bmatrix} , \qquad (x,y) \ne (0,0) $$ es isomorfo a $\mathbb C \setminus \left\{{0}\right\}$ bajo la multiplicación compleja.

Conozco dos formas de mostrar isomorfismo: 1) encontrar una función homomórfica 2) escribir la tabla de multiplicación y comparar.

Creo que la última es posible para grupos finitos.

Answer 1

$\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$Lo que hay detrás de este ejercicio es lo siguiente.

Consideremos $\C$ como un espacio vectorial sobre $\R$, con base $1, i$. Para cada $x + i y \in \C$, con $x, y \in \R$, consideremos la función $$ \C \to \C \qquad z \mapsto z \cdot (x + i y). $$ Esta función es $\R$-lineal, y su matriz con respecto a la base $1, i$ es precisamente $$ \begin{bmatrix} x & y\\ -y & x \end{bmatrix} $$

Veamos si puedes seguir a partir de aquí.

Nota La matriz es la que se muestra arriba si consideras vectores de fila. Si consideras vectores de columna, entonces toma la función $z \mapsto z \cdot (x - i y)$, que sigue siendo $\R$-lineal.

Answer 2

No deberías necesitar escribir una tabla de multiplicar para demostrar que dos grupos son isomorfos, a menos que los grupos dados estén realmente definidos por su tabla de multiplicación.

En este caso, los grupos son infinitos de todas formas, así que necesitas encontrar una función homomórfica y demostrar que es homomórfica y una biyección.

Algunas pistas para ayudarte a encontrar esa función:

• Considera el caso $y=0$. ¿Cómo se comportan las matrices $\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}$ bajo la multiplicación? ¿Qué te recuerda eso en los números complejos?

• ¿Cuál es $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}^2$? ¿Qué te recuerda eso?

• Usando estos, ¿cuál parece ser el mapeo más natural de las matrices de la forma $\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}$ ($x,y\ne0$) a los números complejos de la forma $a+ib$ ($a,b\ne0$)? ¿Puedes probar que ese mapeo es un homomorfismo y una biyección?

Answer 3

Sea $G$ el grupo de aquellas matrices con multiplicación de matrices usual. Define

$$f:G\to \Bbb C\setminus \{0\}$$ $$f\big(\begin{bmatrix} x & y\\ -y & x \end{bmatrix}\big)=x+iy$$ Muestra que es un isomorfismo.