Si la matriz A es simétrica y se cumple cierta condición, entonces es definitivamente positiva

Question

Entonces, la condición de la que estoy hablando es esta: $ a_{ii} > \sum_{j=1,i\neq j}^{n} {|a_{ij}|} $

Mi idea para la demostración sería:

Dado que la matriz es simétrica, puedo diagonalizarla y obtener una matriz donde todos los autovalores están representados por los valores en la diagonal. Dado que las operaciones que conducen a la matriz diagonalizada son todas lineales, puedo decir que para esta matriz la condición $ a_{ii} > \sum_{j=1,i\neq j}^{n}{|a_{ij}|} $ sigue siendo válida. Entonces, la condición también puede ser reescrita como $ a_{ii} - \sum_{j=1,i\neq j}^{n}{|a_{ij}|} > 0 $. Ahora, en la matriz diagonalizada se cumple que $ \sum_{j=1,i\neq j}^{n} {|a_{ij}|} = 0 $ lo que lleva a $ a_{ii} > 0 $ lo que significa que los autovalores son positivos. Esto significa que la matriz es definida positiva.

¿Es correcta mi demostración?

Gracias por cualquier consejo/ayuda

Answer 1

Dado que las operaciones que llevan a la matriz diagonalizada son todas lineales, puedo decir que para esta matriz la condición $ a_{ii} > \sum_{j=1,i\neq j}^{n}{|a_{ij}|} $ todavía se cumple.

Esta oración es vaga y matemáticamente sin sentido en el mejor de los casos y falsa en el peor:

La operación que mapea $a_{ii}$ a $0$ y todos los demás valores $a_{ij}$ a sí mismos es lineal, pero no preserva tu propiedad.

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Para una mejor versión de la prueba, ¿has oído hablar de los círculos de Gerschgorin?