Tengo problemas para entender algunas notas que encontré en la red que conducen a una derivación de la secuencia de Mayer-Vietoris. Me preguntaba si alguien aquí podría ayudarme a entender el funcionamiento de estas notas, a continuación. Las notas dicen lo siguiente:
“Si $U$ y $V$ son subconjuntos abiertos de una variedad $M$, la secuencia de Mayer-Vietoris es la siguiente: (Nos referimos a las notas de 'Álgebra Homológica' para el resultado de que una secuencia exacta corta de complejos de cadenas da lugar a una secuencia exacta larga de los grupos de cohomología correspondientes.)”
$0\rightarrow \Omega ^{*}\left ( U \cup V \right )\overset{f}{\rightarrow}\Omega ^{*}\left ( U \right ) \oplus \Omega ^{*}\left ( V \right )\overset{g}{\rightarrow} \Omega ^{*}\left ( U \cap V \right )\rightarrow 0$
Donde:
$i_{U}:U\rightarrow U \cup V$, $i_{V}:V\rightarrow U \cup V$, $j_{U}:U \cap V \rightarrow U$, $j_{V}: U \cap V \rightarrow V$
$f=\left (i^{*}_{U},i^{*}_{V} \right )$ y $g=j^{*}_{U}-j^{*}_{V}$
Al mirar estas notas anteriores, creo entender por qué $f$ es inyectiva; ya que creo que para que una forma $\alpha$ en $U\cup V$ produzca un cero en $U$ y en $V$ se requiere que $\alpha=0$. Sin embargo, no estoy seguro de por qué g es suprayectiva. No estoy seguro de por qué dado cualquier $\alpha$ en $U\cap V$, esta $\alpha$ se puede escribir como:
$\alpha=j^{*}_{U} \alpha_{U}-j^{*}_{V} \alpha_{V}$
para algún $\alpha_{U}$ y $\alpha_{V}$ definidos en $U$ y $V$ respectivamente. Tampoco estoy seguro de por qué hay un signo negativo en esta relación en lugar de un signo positivo. Imagino que es obvio, pero simplemente no lo estoy viendo.
¿Alguien aquí me podría explicar por qué cualquier $\alpha$ en $U\cap V$ se puede escribir de esta manera, y por qué el signo negativo?
