Demostrar $\exists A:\forall x: \big(\varphi(x)\implies x\in A\big)$ implica que $\{x\in A:\varphi(x)\}$ existe y no depende de $A$.

Question

Antecedentes: Este ejercicio apareció en una pregunta anterior mía.

Lo que me gustaría saber:

1. ¿Es correcta mi demostración?
2. ¿Existen demostraciones más simples para esta proposición?

Mi intento (Prueba).

Supongamos $$\exists A:\forall x:\Big(\varphi(x)\implies x\in A\Big)\tag{1}$$ Aplicando el esquema de comprensión en el conjunto $A$ en $(1)$, obtenemos $$\exists B: \forall x: \Big(x\in B\iff x\in A \wedge \varphi(x)\Big)\tag{2}$$

donde $B=\{x\in A: \varphi(x)\}$. Así, probando que el conjunto buscado existe.

Para establecer que la existencia del conjunto $B$ no depende de $A$, asumamos además que $$\exists A': \forall x: \Big(\varphi(x)\implies x\in A'\Big) \tag{3}$$ Hay dos casos posibles:

• Caso $i)$ Dados cualquier conjunto $x$, cuando $\varphi(x)$ es verdadero entonces $$\begin{align*}\varphi(x)&\implies x\in A\wedge x\in A'\tag*{por $(1)$ y $(2)$}\\ &\implies \Big(x\in A\iff x\in A'\Big)\\ &\implies \Big(x\in A\wedge \varphi(x)\iff x\in A'\wedge \varphi(x)\Big)\\ &\implies \{x\in A:\varphi(x)\}=\{x\in A':\varphi(x)\} \end{align*}$$

• Caso $ii)$ Para un conjunto arbitrario elegido $x$, si $¬\varphi(x)$ entonces $$\begin{align*} ¬\varphi(x)&\implies ¬(x\in A)\wedge ¬(x\in A')\tag*{por $(1)$ y $(2)$}\\ &\implies A=\emptyset=A'\tag*{por la unicidad de $\emptyset$}\\ &\implies (x\in A\iff x\in A')\\ &\implies \{x\in A:\varphi(x)\}=\{x\in A':\varphi(x)\} \end{align*}$$

Por lo tanto, el conjunto $B$ no depende de $A$.

Answer 1

La última parte de tu prueba (independencia de la elección de $A$) es incorrecta.

Considera $\varphi(x)$ para indicar $x\in\{0,1\},$ $A=\{0,1,2\},$ y $A'=\{0,1,3\}.$ Claramente, para $x=2:=\Bigl\{\emptyset,\bigl\{\emptyset\bigr\},\bigl\{\emptyset,\{\emptyset\}\bigl\}\Bigl\},$ tenemos $\neg\varphi(x).$ Sin embargo, no podemos concluir que $x\notin A.$ Además, para $x=4,$ tenemos $\neg\varphi(x),$ pero mientras $x\notin A$ y $x\notin A',$ no podemos concluir que $A=\emptyset=A'.$

Tu primer caso casi hace el truco por completo, aunque es un poco incómodo/ambiguo. En lugar de eso, procedería de la siguiente manera. Sea $B:=\{x\in A:\varphi(x)\},$ y asumamos que $A'$ tiene la propiedad de que $\forall x, \varphi(x)\longrightarrow x\in A'.$ Demuestra que si $x\in B,$ entonces $x\in A',$ de modo que $B\subseteq\{x\in A':\varphi(x)\}.$ Un argumento análogo muestra que $B\supseteq\{x\in A':\varphi(x)\},$ completando la prueba.