Antecedentes: Este ejercicio apareció en una pregunta anterior mía.
Lo que me gustaría saber:
- ¿Es correcta mi demostración?
- ¿Existen demostraciones más simples para esta proposición?
Mi intento (Prueba).
Supongamos $$\exists A:\forall x:\Big(\varphi(x)\implies x\in A\Big)\tag{1}$$ Aplicando el esquema de comprensión en el conjunto $A$ en $(1)$, obtenemos $$\exists B: \forall x: \Big(x\in B\iff x\in A \wedge \varphi(x)\Big)\tag{2}$$
donde $B=\{x\in A: \varphi(x)\}$. Así, probando que el conjunto buscado existe.
Para establecer que la existencia del conjunto $B$ no depende de $A$, asumamos además que $$\exists A': \forall x: \Big(\varphi(x)\implies x\in A'\Big) \tag{3}$$ Hay dos casos posibles:
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Caso $i)$ Dados cualquier conjunto $x$, cuando $\varphi(x)$ es verdadero entonces \begin{align*}\varphi(x)&\implies x\in A\wedge x\in A'\tag*{por $(1)$ y $(2)$}\\ &\implies \Big(x\in A\iff x\in A'\Big)\\ &\implies \Big(x\in A\wedge \varphi(x)\iff x\in A'\wedge \varphi(x)\Big)\\ &\implies \{x\in A:\varphi(x)\}=\{x\in A':\varphi(x)\} \end{align*}
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Caso $ii)$ Para un conjunto arbitrario elegido $x$, si $¬\varphi(x)$ entonces \begin{align*} ¬\varphi(x)&\implies ¬(x\in A)\wedge ¬(x\in A')\tag*{por $(1)$ y $(2)$}\\ &\implies A=\emptyset=A'\tag*{por la unicidad de $\emptyset$}\\ &\implies (x\in A\iff x\in A')\\ &\implies \{x\in A:\varphi(x)\}=\{x\in A':\varphi(x)\} \end{align*}
Por lo tanto, el conjunto $B$ no depende de $A$.
