He estado tratando de demostrar que $$ \lim\limits_{x\to \infty} (1+\frac{1}{\ln x})^x = \infty $$ y esto es lo que obtuve: $$ \lim\limits_{x\to \infty} (1+\frac{1}{\ln x})^x = \lim\limits_{x\to \infty} e^{\ln (1+\frac{1}{\ln x})^x} = \lim\limits_{x\to \infty} e^{x * \ln (1+\frac{1}{\ln x})} $$ Luego, debido a que la función e es continua y que $a*b=\frac{a}{\frac1b}$ $$ = e^{ \lim\limits_{x\to \infty} \frac{\ln (1+\frac{1}{\ln x})}{\frac1x} } $$ Dado que tanto el numerador como el denominador tienden a 0 conforme ${x\to \infty}$, podemos aplicar L'Hospital y después de derivar ambos obtenemos $$ e^{ \lim\limits_{x\to \infty} \frac{-\frac{1}{x*\ln x+x*\ln^2 x}}{-\frac{1}{x^2}}} = e^{ \lim\limits_{x\to \infty} \frac{x^2}{x*(\ln x+\ln^2 x)}} = e^{ \lim\limits_{x\to \infty} \frac{x}{\ln x+\ln^2 x}} $$ y luego, dado que la función x crece mucho más rápidamente que las funciones logarítmicas elevadas a cualquier poder, obtenemos $$ e^{ \lim\limits_{x\to \infty} \frac{x}{\ln x+\ln^2 x}} = e^{\infty} = \infty $$ Dado que soy bastante nuevo en cálculo, no me siento seguro en absoluto acerca de lo que acabo de hacer, por lo que sería genial si pudiera recibir algunos comentarios de personas experimentadas. Además, esta es mi primera publicación aquí, espero no haber infringido ninguna regla. Mientras tanto, les deseo a todos un buen día.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Peter Szilas
Puntos
21
Tomando $\log$:
$f(x):=$
$x (\log (1+\dfrac{1}{\log x})-\log 1)=$
$(\dfrac{x}{\log x})\dfrac{\log (1+\dfrac{1}{\log x})-1}{\dfrac{1}{\log x}}.
Establecer $h:=\dfrac{1}{\log x}$:
$x \rightarrow \infty$ implica $h \rightarrow 0^+$.
$\lim_{ h \rightarrow 0^+}\dfrac{\log (1+h)-1}{h}=$
$ \log '(1)=1.
Por lo tanto, para valores suficientemente pequeños de $h$:
$\dfrac{\log (1+h)-1}{h} >1/2.
Para valores suficientemente grandes de $x$:
$(1/2)\dfrac{x}{\log x}< f(x), es decir, no está acotada superiormente.
Exponenciar y tomar el límite $x \rightarrow \infty.
