Mostrar que cada operador lineal $A:E \rightarrow E$ es la suma de un operador autoadjunto con un operador anti-autoadjunto.

Question

¿Puede alguien ayudarme a demostrar que todo operador lineal $A:E \rightarrow E$ es la suma de un operador autoadjunto con un operador anti-autoadjunto?

Incluso comenzar la pregunta sería increíble, no sé qué propiedad usar para comenzar la demostración

¡Gracias!!

Answer 1

Mostraremos que $A+A^*$ es autoadjunto. (Por definición $\langle A^* x,y\rangle =\langle x,Ay\rangle$.) Ahora

$$\begin{align} \langle (A+A^*) x,y\rangle & = \langle A x,y\rangle+\langle A^* x,y\rangle \\ & =\langle x,A^*y\rangle+\langle x,Ay\rangle \\ & =\langle x, (A+A^*)y\rangle.\end{align}$$

Mostraremos que $A-A^*$ es anti-autoadjunto. Tenemos

$$\begin{align} \langle (A-A^*) x,y\rangle & = \langle A x,y\rangle-\langle A^* x,y\rangle \\ & =\langle x,A^*y\rangle-\langle x,Ay\rangle \\ & =-\langle x, (A-A^*)y\rangle.\end{align}$$

Finalmente, tenemos que $A=\frac12 (A+A^*)+\frac12 (A-A^*)$ y hemos terminado.