Se sabe que para cualquier secuencia de enteros positivos $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ se cumple la siguiente igualdad: $$ \sum_{i=1}^n a_i=\sum_{k\in \mathbb{Z},k\geqslant 1} \left|\{i\colon a_i\geqslant k\}\right|. $$
Creo que la forma más sencilla de entender esto es dibujar un conjunto de rectángulos $1\times a_1$, $1\times a_2$, ..., $1\times a_n$ y calcular el área de todos ellos de dos formas:
- Estilo "Riemann": suma sus áreas.
- Estilo "Lebesgue": calcula el número de cuadrados $1\times 1$ en la primera fila ($\left|\{i\colon a_i\geqslant 1\}\right|$), añade el número de cuadrados $1\times 1$ en la segunda fila ($\left|\{i\colon a_i\geqslant 2\}\right|$) y así sucesivamente.
¿Sabes cómo se llama esta transformación?
Parece ser el caso especial de la transformación de Abel (para suficientemente grande $N$, $f_k=\left|\{i\colon a_i\geqslant k\}\right|$, $g_k=k-1$): $$ \sum_{k=1}^{N} \bigl(k-(k-1))\bigr)\cdot \left|\{i\colon a_i\geqslant k\}\right|=-\sum_{k=2}^N (k-1)\cdot \bigl(\left|\{i\colon a_i\geqslant k\}\right|-\left|\{i\colon a_i\geqslant k-1\}\right|\bigr)=\sum_{k=1}^{N}k\cdot \left|\{i\colon a_i=k\}\right|. $$ Pero quiero creer que este hecho tiene su propio nombre (TransformaciónDeUnBuenYGranMatemático)
