¿Cómo se ven las subálgebras de las matrices de $n\times n$?

Question

Sea $A\leq M_n(\mathbb{C})$ una subálgebra de las matrices $n\times n$ con coeficientes complejos. Dado que $A$ actúa fielmente en vectores columna de longitud $n$, podemos usar la descomposición de Jordan de los vectores columna como una representación de $A$ para colocar $A$ en una forma visualmente atractiva.

Específicamente, $A$ puede colocarse en una forma de bloque triangular superior. Con esto quiero decir que hay bloques cuadrados con la diagonal de los bloques coincidiendo con la diagonal de la matriz, donde puede suceder cualquier cosa. Además, pueden haber entradas no nulas de las matrices que están por encima y a la derecha de los bloques.

Luego puedes representar el álgebra colocando estrellas en una matriz donde los elementos del álgebra tienen una entrada no nula.

¿Existen algunas hipótesis simples que puedas colocar en el álgebra para que esas estrellas cuenten toda la historia? Es decir, ¿hay un teorema de la siguiente forma? Dos subálgebras de $M_n(\mathbb{C})$ con algunas propiedades adicionales son isomorfas si y solo si puedes elegir bases de manera que el patrón de estrellas sea el mismo?

Answer 1

Sea $A$ una sub-álgebra de $M_n(\mathbb{C})$ de la forma "algunas entradas son cero y otras entradas son arbitrarias," por ejemplo, la sub-álgebra triangular superior $\left[ \begin{array}{cc} \ast & \ast \\ 0 & \ast \end{array} \right]$; equivalente, una sub-álgebra con una base dada por algunas matrices $E_{ij}$ con todas las entradas cero excepto la entrada $ij$ que es igual a $1$. Este conjunto de matrices necesita satisfacer las siguientes condiciones:

• Cada matriz $E_{ii}$ aparece (esto es necesario para que $A$ sea una sub-álgebra unitaria).
• Si $E_{ij}$ y $E_{jk}$ aparecen, entonces $E_{ik}$ aparece (esto es necesario para que $A$ sea cerrada bajo multiplicación).

Estas condiciones necesarias también son suficientes. Esto significa que si definimos $i \le j$ si $E_{ij}$ aparece en la base, entonces $\le$ es un preorden en $\{ 1, 2, \dots n \}$; conversamente, cada preorden de este tipo da lugar a una sub-álgebra de $M_n(\mathbb{C})$ de la forma mencionada anteriormente, que es una ligera generalización de un álgebra de incidencia de dimensión finita. Los módulos simples están en biyección con las clases de isomorfismo del preorden, y sospecho (aunque no he verificado) que dos de estas álgebras de incidencia son Morita equivalentes si y solo si los cocientes de los posets de los preordenes correspondientes son isomorfos.

Como dos casos especiales simples pero agradables, si tomamos un orden total obtenemos un álgebra isomorfa al álgebra triangular superior, y si tomamos una relación de equivalencia con clases de equivalencia de tamaño $n_i$, obtenemos un producto $\prod M_{n_i}(\mathbb{C})$ de álgebras de matrices.

Existen solo un número finito de sub-álgebras de esta forma para un valor fijo de $n$, pero en general las sub-álgebras de $M_n(\mathbb{C})$ vienen en familias paramétricas y por lo tanto eventualmente deberían existir incontables, incluso hasta la conjugación, aunque no sé qué valor de $n$ se requiere para que esto comience a ser cierto.

Probablemente alguien conozca condiciones necesarias y/o suficientes para que un álgebra de dimensión finita sea isomorfa a un álgebra de incidencia pero yo no lo sé. Si reemplazamos $\mathbb{C}$ con un campo general $F$, entonces una condición necesaria es que el cociente por el radical de Jacobson sea un producto de álgebras de matriz $M_k(F)$, por lo tanto, los contraejemplos son dados por extensiones finitas no triviales de $F$, por ejemplo, la sub-álgebra de $M_2(\mathbb{R})$ isomorfa a $\mathbb{C}$ no es una sub-álgebra de esta forma, incluso hasta la conjugación.