¿Por qué a veces se calcula la probabilidad utilizando pares ordenados de resultados en lugar de pares no ordenados?

Question

Por ejemplo, si estamos lanzando dos monedas, donde cada moneda cae en cara ($H$) o cruz ($T$), tenemos los siguientes posibles resultados: $\{H, H \}$, $\{H, T \}$, $\{T, T \}$.

Sin embargo, al resolver algunos ejercicios, noté que esta no es la forma correcta de buscar el número de posibles resultados en probabilidad. Más bien, concebimos los resultados de los lanzamientos de monedas como pares ordenados. En este caso, tenemos $(H,H)$, $(H,T)$, $(T,H)$, $(T,T)$.

No entiendo por qué el primer enfoque está mal y la razón por la cual necesitamos dos pares ordenados $(H,T)$ y $(T,H)$ en lugar de solo $\{H,T\}$. Por lo tanto, realmente no entiendo de qué se trata la probabilidad. Por favor, ayúdame a entender.

Answer 1

Ayuda mirar los espacios de probabilidad que cada uno genera:

Cuando se trabaja con pares desordenados:

$$\begin{array}{c|c}\text{Resultado} & \text{Probabilidad} \\ \hline \{H,H\} & 0.25 \\ \{H,T\} & 0.5 \\ \{T,T\} & 0.25\end{array}$$

Note cómo diferentes resultados tienen diferentes probabilidades. Por otro lado, al trabajar con pares ordenados:

$$\begin{array}{c|c}\text{Resultado} & \text{Probabilidad} \\ \hline (H,H) & 0.25 \\ (H,T) & 0.25 \\ (T,H) & 0.25 \\ (T,T) & 0.25\end{array}$$

Los espacios muestrales donde cada resultado es igualmente probable se llaman espacios Equiprobables. En general, dado la elección entre dos espacios de probabilidad, los espacios Equiprobables son a menudo (pero no siempre) más fáciles de trabajar, incluso si tienen información redundante. Sin embargo, ambos espacios de probabilidad son formas válidas de registrar los resultados al lanzar dos monedas justas, y en algunos contextos, es posible que prefiera el espacio de probabilidad de pares desordenados en lugar del espacio Equiprobable.

Un ejemplo de cuándo debes usar un espacio no equiprobable es al realizar ensayos de Bernoulli. Tienes un único espacio muestral con dos resultados que no son equiprobables. Ahora, usar pares desordenados tiende a ser tan común (o posiblemente incluso más común) que pares ordenados. Si la probabilidad de sacar cara en una moneda injusta es $0, entonces a lo largo de diez lanzamientos, terminas con el espacio de probabilidad:

$$\begin{array}{c|c}\text{Resultado} & \text{Probabilidad} \\ \hline \text{10 caras} & \dbinom{10}{0}p^{10}(1-p)^0 \\ \text{9 caras, 1 cruz} & \dbinom{10}{1}p^9(1-p)^1 \\ \text{8 caras, 2 cruces} & \dbinom{10}{2}p^8(1-p)^2 \\ \vdots & \vdots \\ k\text{ caras, }10-k\text{ cruces} & \dbinom{10}{k}p^k(1-p)^{10-k}\end{array}$$