En ecuaciones de Cauchy-Riemann

Question

Dado $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ es una función entera no constante, ¿cuál de lo siguiente es posible?

1. Re $f(z)=$ Im $ f(z)$,

2. Im$\,f(z)<0$,

3. Re$\,f(z)$ está acotada,

4. $f(z)\neq 0,$ para todo $z\in \mathbb{C}$.

Definitivamente, 4. es correcta ya que $f(z)=e^z$ es un ejemplo. También usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann se puede mostrar que 1. y 3. son incorrectas ya que esas opciones llevan a $f$ constante. ¿Pero por qué es incorrecta la 2.? ¡Por favor ayúdame!

Answer 1

Pista: Para $2$, considera

$$ \exp (-if)$$

Answer 2

Solo 4. es posible. Por ejemplo $\mathrm{e}^z \ne 0$, para todo $z \in \mathbb{C}.

1. Si $f=u+iv$, y $u=v$, entonces $f=(1+i)u$. Pero $g=(1+i)f$ también es entero y
   $g(z)=(1-i)f(z)=2u$, es decir, es de valor real, y por lo tanto constante, lo que a su vez implica que $f$ es constante.

2. Si Im$\,f<0$, entonces $g(z)=\exp\big(-i f(z)\big)$ está acotada, ya que $$ \lvert g(z)\rvert =\exp\big(\mathrm{Re}\,(-if(z))\big)=\exp(\mathrm{Im}\,f(z))<\exp(0)=1. $$ Así que $g$ está acotada, y por lo tanto constante, al igual que $f$.

3. Si $\mathrm{Re}\, f(z) \le M$, entonces como en 2. $g=\exp(f)$ está acotada y por lo tanto constante, al igual que $f$.