Conectando la definición de isotopía ambiental con la intuición

Question

Estoy tratando de entender por qué las isotopías ambientales se definen de la manera en que lo hacen para la teoría de nudos.

Definiciones: mi texto define una isotopía entre embebimientos $f_1, f_2$ de $X$ en $Y$ como un mapa continuo $F: X \times [0,1] \to Y \times [0, 1]: (x, t) \mapsto (f(x, t), t)$ tal que $f(x, 0) = f_0(x)$ y $f(x, 1) = f_1(x)$. La intuición detrás de esto es que $F$ deforma continuamente los dos embebimientos entre sí. Esto tiene sentido para mí.

Una isotopía ambiental entre $f_0$ y $f_1$ se define como un mapa continuo $H: Y \times [0, 1] \to Y \times [0, 1]: (y, t) \mapsto (h(y, t), t)$ tal que $h(y, 0) = y$ y $h(f(x, 0), 1) = f(x, 1)$. La intuición es que $H$ define una isotopía (mediante $F: (x, t) \mapsto (h(f(x, 0), t), t)$) que también preserva el espacio ambiental alrededor de los embebimientos. Mis preguntas precisas son:

1. ¿Por qué dos nudos son iguales si son isotópicos ambientales?
2. ¿Por qué definimos $h$ de la manera en que lo hacemos?
3. ¿Por qué el $F$ definido por $H$ respeta el espacio ambiental?

Answer 1

Imagina que tienes una hoja de goma delgada en tu escritorio, por lo que básicamente es $I \times I$. Está pegada alrededor de su borde. Dibujas en ella, con marcador mágico, un círculo.

Si ahora pones un dedo en el centro de la hoja de goma y la tiras un poco hacia un lado, es posible que tu círculo se deforme un poco, tal vez convirtiéndose en forma de huevo. Para un topólogo, esto sigue siendo un "círculo en un rectángulo". Una razón es que es fácil deshacer la operación: aflojas la hoja y se deforma de nuevo a lo que parecía antes. Dicha operación se llama "isotopía" del espacio ambiente. En este ejemplo, $Y$ es la hoja de goma, y el movimiento inducido por tu dedo es una secuencia de mapeos de $Y$ en sí mismo: cada pedazo de la hoja de goma se mueve (durante un breve período de tiempo) a una nueva ubicación que resulta ser una ubicación donde antes había parte de la hoja de goma.

¿Y qué pasa con el dibujo? Bueno, eso es una inserción del círculo en $Y$, y a medida que $Y$ 'se desliza dentro de sí misma', el dibujo se lleva con él. Podrías definir el nudo simplemente como el conjunto de puntos donde está la tinta, pero asumo que tu texto ha dejado claro que las cosas se simplifican si consideramos el mapa (es decir, la parametrización del conjunto de puntos por un círculo) en lugar del conjunto de puntos en sí. Así que cuando digo que el dibujo corresponde al nudo, lo que realmente quiero decir es que una parametrización del dibujo corresponde al mapa $f$ en tu definición.

Con una homotopía de $f$, podrías cambiar la imagen de $f$ de un círculo a, digamos, un ocho, o un solo punto. Con una isotopía de $Y`, solo puedes cambiarlo a un círculo distorsionado. Eso parece capturar mejor la noción de que dos nudos son "iguales" (en el sentido de que el nudo que usas para atar tus cordones es el mismo que el que uso para atar los míos, suponiendo que en ambos casos pegamos los extremos juntos para obtener un cordón circular (es decir, una inserción de $S^1$ en lugar de $I`), incluso si tus zapatos y los míos no están exactamente en la misma ubicación.