¿Por qué la fuerza por la distancia no es igual a la energía cinética para objetos que ruedan por un plano inclinado?

Question

Imagina dos objetos en reposo en la parte superior de un plano inclinado que son capaces de rodar e idénticos en todos los aspectos (masa, radio, etc.) con la excepción de cómo se distribuye su masa. Uno está centrado hacia el centro y el otro está centrado hacia el exterior, lo que les da un momento de inercia diferente.

Ambos tendrán la misma fuerza de gravedad tirándolos por la pendiente y actuará a través de la misma distancia de la parte superior a la parte inferior. Lo mismo ocurre con el torque (debido a la fricción estática) y la distancia angular.

Por lo tanto, parece que el trabajo realizado en cada uno es el mismo en cuanto a la energía cinética (EC) rotacional y traslacional, y la suma de cada uno para cada objeto será mgh.

Eso normalmente me llevaría a concluir que tendrían las mismas velocidades, pero en esta situación claramente eso no es cierto porque no aceleran al mismo ritmo debido a la diferencia en su momento de inercia. Puedo ver que el objeto con el momento de inercia más alto tendrá más energía en términos de su EC rotacional y menos en términos de EC translacional, independientemente del hecho de que ambos han tenido la misma fuerza actuando a través de la misma distancia y torque a través de la distancia angular.

Hay una desconexión aquí y me resulta muy confuso. ¿El trabajo realizado por una fuerza a través de una distancia no siempre es igual a la energía cinética de los objetos como parece aquí o simplemente estoy pasando por alto lo obvio otra vez?

Answer 1

El trabajo realizado por la fuerza a través de una distancia es el cambio en la energía cinética. Sin embargo, la energía cinética aquí tiene dos componentes: uno debido al movimiento translacional de los objetos, y otro debido al hecho de que están girando. Debes tener en cuenta ambos, no puedes simplemente tomar el componente translacional e ignorar el otro.

Aquí tienes un ejemplo extremo de esto. Considera dos objetos, uno de los cuales es un disco o algo sobre una superficie lisa (como hielo o algo con un coeficiente de fricción lo suficientemente bajo como para poder ser ignorado), y el otro es un disco con un eje que está firmemente fijado a algún objeto muy grande, como la Tierra, pero que es libre de girar alrededor de su eje.

Primero, adjuntamos una cuerda ligera al primer objeto y lo tiramos con una fuerza dada a través de una distancia dada, paralela a la superficie. Al final de ese tiempo, el objeto tiene una cantidad de energía cinética, y todo está en el movimiento translacional del objeto. Y podemos calcular su velocidad final ($m v^2/2 = Fd$ donde $F$ es la fuerza y $d$ es la distancia que lo tiramos) y así sucesivamente.

Ahora enrollamos una cuerda ligera similar alrededor del disco, y tiramos esa cuerda a través de la misma distancia con la misma fuerza (e imaginemos que la cuerda convenientemente se desprende al final de la tirada en ambos casos). Al final de este proceso, el disco no tiene ninguna energía cinética translacional en absoluto, porque su eje está fijo a la Tierra. Pero está girando furiosamente, porque lo que he descrito aquí es esencialmente una peonza o algo muy parecido.

Así que el trabajo que he hecho en ambos objetos es el mismo, y por lo tanto tienen la misma energía cinética al final (sin tener en cuenta la fricción). Y en ambos casos la energía fue añadida moviendo la misma fuerza a través de la misma distancia (tirando de las cuerdas, en otras palabras). Pero la tienen en formas bastante diferentes.

Answer 2

El momento de inercia alrededor de su centro de masa de un objeto de masa $m$ y radio $r$ es $kmr^2$.

El valor de $k$ varía desde $k=0$ para una masa puntual en el centro de una rueda sin masa de radio $r$ hasta $k=1$ donde la masa se concentra a una distancia $r$ del centro de masa.

Si no hay deslizamiento, la relación entre la velocidad lineal $v$ y la velocidad angular $\omega$ es $v=r\omega.

La conservación de la energía produce que la disminución del potencial gravitacional o el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es igual a la ganancia en energía cinética $\frac12mv^2+\frac12I\omega^2 = \frac12 m(1+k)v^2.

Si $k=1$ entonces la energía cinética se comparte equitativamente entre la translación y la rotación.
Con valores más pequeños de $k$ una mayor proporción de la energía cinética está en el movimiento de traslación y cuando $k=0$ no hay energía cinética rotacional y toda es energía cinética de translación.

Nota que escribí "potencial gravitacional o trabajo realizado por la fuerza gravitatoria" lo cual identifica claramente de dónde proviene la energía cinética.

Otra forma de hacer esto es considerar el trabajo realizado por la componente de la fuerza paralela a la inclinación a un ángulo $\alpha$ habiendo recorrido una distancia $s$ por la pendiente $(mg\sin \alpha-F_{\rm fricción})s$ y el trabajo realizado por el torque proporcionado por la fuerza de fricción $F_{\rm fricción}s$ que al sumarse da $mgh$ donde $h= s\sin \alpha$ es la caída vertical que experimenta el centro de masa del objeto.

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Actualización como resultado de un comentario de @An_African_Ape

$\tau = I \frac {d\omega}{dt} \Rightarrow F_{\rm fricción} r \omega \,dt = I \omega \,d\omega \Rightarrow F_{\rm fricción} r \,d\theta = I \omega \,d\omega$

Ahora hace la integración $F_{\rm fricción}r\theta = \frac 12 I \omega^2 \Rightarrow F_{\rm fricción} \, s = \frac 12 I \omega^2$
Entonces el trabajo realizado por el torque es igual a la ganancia en energía cinética rotacional del cuerpo.
Un análisis similar se puede realizar para la energía cinética de traslación del centro de masa del cuerpo.

Answer 3

Tú dices: "Creo que simplemente estoy teniendo dificultades para entender que dos objetos puedan tener la misma fuerza neta actuando ...".

No comparten la misma fuerza neta. Si bien $mgsin\theta$ es igual, la fuerza de fricción estática no lo es. La fuerza de fricción estática puede tener cualquier valor (hasta un límite superior) y es diferente para los dos objetos.

Answer 4

En el caso del objeto que rueda, hay que considerar el trabajo realizado en cada elemento de volumen individual del mismo, porque $\vec F \cdot d\vec s$ varía con el tiempo y la posición. Obviamente, el resultado será diferente al de un objeto que no está rotando.