El problema es el siguiente:
Sea $A, B$ algunos conjuntos tal que $A\setminus B$ es infinito mientras que $B$ es numerable o finito. Demuestra que $A\setminus B\sim A$.
Me quedé atascado en este problema al intentar lo siguiente:
Primero, como $A\setminus B$ y $A\setminus B\subseteq A$. Por un lema, puedo asumir que hay una inyección $f$ tal que $f: A\setminus B\to A$. Así que ahora necesito encontrar una inyección de $A\to A\setminus B,$ para poder usar el Teorema de Schröder–Bernstein, que dice:
Si hay una inyección $f$ tal que $f: A\to B,$ y hay otra inyección $g$ tal que $g: B\to A,$ entonces hay una biyección de $A$ a $B$.
Como $A\setminus B$ es infinito, debe existir un conjunto $C$ numerable tal que $C\subset A\setminus B$.
Ahora puedo escribir que $A= (A\setminus B)\cup(C)\cup(A\cap B)$. Dado que $A\cap B\subseteq B,$ y $B$ es numerable o finito, entonces $A\cap B$ también es numerable o finito, lo que significa que existe una inyección $A\cap B\to\mathbb{N}.$
Pero $C$ es numerable, entonces existe una inyección $l$ tal que $l: A\cap B\to C.$
Es decir, encontré una inyección de $A\cap B\to C,$ ¿pero cómo puedo encontrar ahora una inyección de $A\to A\setminus B$ para demostrarlo por el teorema?
