¿Es verdad que $K(G \ast H, 1) = K(G,1)\vee K(H,1) $?

Question

Sé que, a diferencia del caso del grupo fundamental (donde $\pi_1(X \vee Y) \cong \pi_1(X)\ast \pi_1(Y)$ al menos para complejos celulares, que son los espacios que me interesan para el propósito de esta pregunta), no hay una fórmula directa para los grupos de homotopía superiores de una suma de espacios.

Sin embargo, me preguntaba si en el caso de que $\pi_k(X) = \pi_k(Y) = 0$ para todo $k \geq 2$ se puede deducir que también $\pi_k(X\vee Y) = 0$ para todo $k \geq 2$. Si esto es cierto, ¿cómo se puede demostrar? No necesariamente necesito una solución completa, una pista para empezar sería suficiente.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Sí, esto es cierto (al menos, para espacios agradables como los complejos CW). Como esbozo de una prueba, observe que puede construir una cubierta universal para $X\vee Y$ pegando juntas copias de una cubierta universal de $X$ y una cubierta universal de $Y$ en las preimágenes del punto base. (De hecho, puede dar una descripción combinatoria de cómo se pegan las copias que es paralela a la descripción de $\pi_1(X)*\pi_1(Y)$ en términos de palabras reducidas.) Como las cubiertas universales de $X$ y $Y$ son contractibles, se sigue fácilmente que la cubierta universal de $X\vee Y$ tiene homología trivial en dimensiones mayores que $1$, y por lo tanto es contractible.

(Hay otras formas en las que podría hacer el último paso además de usar homología; por ejemplo, podría contraer las copias de las cubiertas universales de $X$ y $Y$ a un punto uno por uno, lo cual no cambia el tipo de homotopía ya que son contractibles; aquí se utiliza la combinatoria de cómo están unidas para asegurar que ninguna copia se pueda pegar consigo misma cuando se contraen otras copias.)

Answer 2

Sí, vea la pregunta y comentarios en overflow.

La respuesta allí explica que el mapa $$BG\vee BH \to B(G*H)$$ es una equivalencia débil más generalmente para grupos topológicos, o incluso monoides topológicos.