¿Cómo encuentro la solución general de esta relación de recurrencia? $$a_n=(a_{n-1})^2+(a_{n-2})^2, a_1=1, a_2=2$$ No encontré ninguna solución general para esta relación de recurrencia.
Respuesta
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Pista: Lo siguiente es más bien una pista que una respuesta. Dada la secuencia \begin{align*} \color{blue}{a_n}&\color{blue}{=a_{n-1}^2+a_{n-2}^2\qquad\qquad n\geq 3}\tag{1}\\ \color{blue}{a_1}&\color{blue}{=1, a_2=2} \end{align*}
La relación de recurrencia (1) pertenece a un grupo de secuencias doblemente exponenciales que se analizan en el artículo de 1973 _Some doubly exponential sequences_ de A. V. Aho y N. J. A. Sloane.
Algunas de las secuencias analizadas en el artículo son \begin{align*} x_{n+1}&=x_n^2+1 &n\geq 0;\qquad x_0=1\qquad\quad\ \\ y_{n+1}&=y_n^2-y_n+1&n\geq 1;\qquad y_1=2\qquad\quad\ \\ y_{n+1}&=y_n^2-y_{n-1}^2& n\geq 1;\qquad y_0=1, y_1=2 \end{align*}
Se muestra que las relaciones de recurrencia de la forma \begin{align*} x_{n+1}&=x_n^2+\color{blue}{g_n}\qquad n\geq 0\tag{2} \end{align*} con condiciones límite, y tales que se satisfacen las siguientes tres condiciones \begin{align*} x_n&>0\tag{i}\\ \left|g_n\right|&<\frac{1}{4}x_n\qquad\quad n\geq n_0\tag{ii}\\ \left|\alpha_n\right|&\geq \left|\alpha_{n+1}\right|\qquad n\geq n_0\tag{iii} \end{align*} todas tienen un tipo específico de solución. Para la definición de $\alpha_n$, ver abajo.
Aquí escribimos (2) como \begin{align*} x_{n+1}&=x_n^2+g_n\\ &=x_n^2\left(1+\frac{g_n}{x_n^2}\right) \end{align*} tomamos logaritmos y obtenemos tras establecer \begin{align*} y_n=\ln \left(x_n\right),\qquad \alpha_n=\ln\left(1+\frac{g_n}{x_n^2}\right) \end{align*} la relación de recurrencia \begin{align*} \color{blue}{y_{n+1}=2y_n+\alpha_n\quad n\geq 0}\tag{3} \end{align*}
Resolver (3) conduce a una solución de (2) que es de la forma \begin{align*} \color{blue}{x_n=\left\lfloor K^{2^n}\right\rfloor\qquad n\geq 0}\tag{4}
La relación de recurrencia (1) también es de la forma (4) con la constante $K$ establecida en OEIS A000283 como \begin{align*} \color{blue}{a_n}&\color{blue}{=\left\lfloor K^{2^n}\right\rfloor\qquad n\geq 1}\\ \\ \color{blue}{K}&\color{blue}{=1.235\,392\,737\,785\,436\,889\ldots} \end{align*}
Nota: La primera vez que leí sobre este tipo de relación de recurrencia fue hace muchos años en la sección 2.2.3 Secuencias Doble Exponenciales en Matemáticas para el Análisis de Algoritmos por D. E. Knuth y D. H. Greene. Allí encontré la referencia al artículo de 1973.
