Tasa de convergencia para filtración y expectativas condicionales

Question

He publicado esta pregunta en Mathoverflow con la esperanza de generar más ideas.

Sea $(\Omega, \mathcal{F},P)$ un espacio de probabilidad y $(\mathcal{F}_n)_n$ una filtración que aumenta hacia $\mathcal{F}$.

¿Hay alguna forma de cuantificar la "tasa de convergencia" de $\mathcal{F}_n \uparrow \mathcal{F}?$

Ahora intentaré clarificar la pregunta explicando su motivación. Me preguntaba qué se puede decir sobre la tasa de convergencia en el teorema de convergencia de martingalas de Lévy. Por ese resultado, para una variable aleatoria integrable $X$ tenemos $$E(X \mid \mathcal{F}_n) \to X$$ casi seguramente. Me preguntaba si podemos hacer una afirmación como $$P(|E(X \mid \mathcal{F}_n) - X| > \epsilon) = O(n^{-a})$$ bajo suposiciones bastante generales.

Como me señaló Bananach en esta pregunta, es ilusorio esperar que la tasa sea independiente de la filtración particular porque podemos reemplazar $\mathcal{F}_n$ con $$\bar{\mathcal{F}_n} = \mathcal{F}_{\sqrt{n}}$$ (redondeando al entero más cercano), y obtener una nueva filtración para la cual las expectativas condicionales convergen más lentamente.

Pero quizás si supiéramos "qué tan rápido" aumenta $\mathcal{F}_n$ hacia $\mathcal{F}$, podríamos encontrar una tasa de convergencia de expectativas condicionales que depende de la "tasa de convergencia" de la filtración.

Un ejemplo se da en la respuesta de Michael a la misma pregunta a la que hice referencia anteriormente. Sea $X$ uniformemente distribuida en $[-1,1]$, suponga que $\mathcal{F} = \sigma(X)$, y defina $$Z_n = X \mathbf{1}_{|X|>2^{-n}} \ \ \text{y} \ \ \mathcal{F}_n = \sigma(Z_n,...,Z_1).$$ Entonces, $$E(X \mid \mathcal{F}_n) = X \mathbf{1}_{|X|>2^{-n}} \to X,$$ y $$P(|E(X \mid \mathcal{F}_n) - X)| > \epsilon) = 2^{-n}.$$

Otro ejemplo trivial es $\mathcal{F} = \sigma(X)$ y $\mathcal{F}_n = \sigma(X)$ para todos los $n$, y luego $$E(X \mid \mathcal{F}_n) = X.$$ La filtración converge "instantáneamente" y también lo hacen las expectativas condicionales.

Los ejemplos sugieren que la tasa de convergencia de las expectativas condicionales es la misma que la "tasa de convergencia" de la filtración. ¿Se puede precisar esta idea en general?

Answer 1

Creo que, teóricamente, hay varias formas de cuantificar la tasa de convergencia de $\mathcal{F}_n$. Aquí está mi sugerencia. Descargo de responsabilidad: Es un enfoque muy rudimentario, probablemente ingenuo, pero tal vez alguien pueda encontrar ideas creativas leyendo esto.

Sea $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ un espacio de probabilidad. La idea es construir una secuencia de números no negativos $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ que tienda a cero cuando $\mathcal{F}_n \rightarrow \mathcal{F}$, a medida que $n \rightarrow +\infty$. Entonces, la tasa de convergencia $R(n) = R_n(\mathcal{F}_n \rightarrow \mathcal{F})$ de la filtración se entenderá como la velocidad de convergencia de $(a_n)$, que es, al menos en principio, un problema más fácil. Establecemos la convención de que si $a_n=0$ para todos los $n$, entonces $R(n) = +\infty$ (convergencia instantánea).

Siguiendo la idea de Davide Giraudo, define, para cualquier $F \in \mathcal{F}$, $$ M_{n}(F) = \inf_{G \in \mathcal{F}_n} \mathbb{P}(F \Delta G) $$ Esto actúa como línea base. Algunas observaciones: $M_n(\Omega) = M_n(\emptyset) = 0$ (debemos tener cuidado con esto), si $\mathcal{F}_n = \mathcal{F}$ para todos los $n$, entonces $M_n(F)=0$ para todos los $F \in \mathcal{F}$. Ahora, define $L_n$ y $U_n$ como $$ L_n = \inf_{ F \in \mathcal{F}, \mathbb{P}(F) \neq 0 } \{ M_n(F) \}, \quad U_n = \sup_{ F \in \mathcal{F} } \{ M_n(F) \} $$ que es como considerar el escenario "peor caso" (diferencia mínima, $L_n$) y el escenario "mejor caso" (diferencia máxima, $U_n$), donde intencionalmente excluimos los casos triviales, por ejemplo $\emptyset$. Observa que, si un conjunto particular $\bar{F} \in \mathcal{F}$ alcanza $U_n$, entonces todos los demás conjuntos $F \in \mathcal{F}$ satisfacen $ 0 \leq M_n(F) \leq M_n(\bar{F})$. Finalmente, sea $$ a_n = \frac{L_n + U_n}{2} $$ que actúa como una "diferencia promedio". Verifiquemos que funciona cuando $\mathcal{F}_n = \mathcal{F}$. Entonces, $M_n(F)=0$, $L_n = U_n = 0$ y también $a_n = 0$. Veamos ahora que si $\mathcal{F}_n$ en realidad no converge a $\mathcal{F}$, $a_n$ no tiende a cero. Es suficiente considerar el límite $n \rightarrow +\infty$, por lo que $L_n \rightarrow L$ y $U_n \rightarrow U$. Razone por contradicción. $a_n = 0$ implica $L=U=0$. Pero $U=0$ implicaría que $M_{+\infty}(\bar{F})=0$ para el conjunto $\bar{F}$ que maximiza la diferencia, por lo que todos los demás conjuntos también tendrían $M_{+\infty}(F)=0$ (por la propiedad anterior), lo que implicaría $\mathcal{F}_{+\infty} = \mathcal{F}$ ("casi seguramente"), lo cual es una contradicción, por lo que $U \neq 0$ y $a_n$ no puede tender a cero.

Estoy seguro de que mi respuesta podría mejorarse y probablemente no fui lo suficientemente preciso matemáticamente y puede haber algunas omisiones, esto es solo para generar ideas para una pregunta muy interesante.

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EDICIÓN: Para ser claro, el procedimiento general que estoy sugiriendo es el siguiente $$ \mathcal{F}_n \color{red}{\rightarrow} a_n \rightarrow R(n) \color{red}{\rightarrow} E(X|\mathcal{F}_n) $$ Comienza con $\mathcal{F}_n$. A partir de eso, generas una secuencia $a_n$. Calculas $R(n)$ a partir de $a_n$ usando los conceptos dados en la página de Wikipedia, que va desde la simple $R(n) = a_{n+1}/a_n$ hasta cosas más elaboradas. O simplemente pregunta a un matemático. Después de eso, idealmente, necesitas una fórmula general que vincule $R(n)$ con $E(X|\mathcal{F}_n) \rightarrow X$. Este es un problema independiente, que se puede resolver asumiendo comenzar con $R(n)$. Las flechas rojas denotan las partes (difíciles) donde se debe tener mucho cuidado (para evitar resultados triviales).