Evaluar $\int \frac{x^2\cdot\log(x)}{x+1} dx$

Question

Estoy tratando de evaluar la integral:

$$\int \frac{x^2\log(x)}{x+1}dx$$

Pero tengo algunos problemas con ella. Si uso Wolfram Alpha como este Obtengo un resultado, pero necesito evaluarlo a mano. ¿Qué método debo usar?

Si lo representamos como:

$$\int(x^2\log(x)\cdot d(\ln(x))dx$$

entonces no está claro qué hacer aquí, incluso podemos representarlo como una potencia, tomar $x^2$ en la potencia de $\log(x)$, todavía no hay ninguna pista. Por favor, ayúdame a evaluarlo.

Answer 1

Tenemos \begin{align*} \int\frac{x^2\log x}{x+1}dx&=\int x\log x\frac{x+1-1}{x+1}dx\\ &=\int x\log x-\int \frac{x+1-1}{x+1}\log xdx\\ &=\frac{x^2}2\log x-\int\frac{x^2}2\frac 1xdx-\int \log x+\int\frac{\log x}{x+1}dx\\ &=\frac{x^2}2\log x-\frac{x^2}4-x\log x+x+\log x\log(x+1)-\int\frac{\log(x+1)}xdx\\ &=\frac x4(4-x)+\log x\left(\frac{x^2}2-x+\log(x+1)\right)-\int\frac{\log(x+1)}xdx\\ &=\frac x4(4-x)+\log x\left(\frac{x^2}2-x+\log(x+1)\right)-\sum_{k=1}^{+\infty}\int \frac{(-1)^{k+1}x^k}{kx}dx\\ &=\frac x4(4-x)+\log x\left(\frac{x^2}2-x+\log(x+1)\right)+\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^k \frac{x^k}{k^2}\\ &=\frac x4(4-x)+\log x\left(\frac{x^2}2-x+\log(x+1)\right)+\operatorname{Li}_2(-x), \end{align*} que es el resultado dado por Wolfram Alpha.