Si $f(x)=\int_{0}^{x}\sqrt {f(t)}dt$, entonces encuentra $f(6)$.

Question

Sea $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ continua en $[0,\infty)$ y diferenciable en $(0,\infty)$. Si $f(x)=\int_{0}^{x}\sqrt {f(t)}dt$, entonces encuentra $f(6)$. $$f(x)=\int_{0}^{x}\sqrt {f(t)}dt$$ $$g(x):=\sqrt {f(x)}\implies(g(x))^2=f(x)=\int_{0}^{x}g(t)dt\implies2g(x)g'(x)=g(x)$$ [por FTC-1] $$\implies g=0 \vee g'(x)=\frac{1}{2} $$ $$(g(0))^2=f(0)=0\implies g(x)=\frac{x}{2}\vee g=0 \implies f(6)=9 \vee f(6)=0$$ ¿Es esto correcto? Además, ¿cómo descarto $f(6)=0$ si mi fuente solo da $9$ como respuesta? Encontré esta publicación después de escribir la mía pero aún así no creo que se pueda descartar $f(6)=0$.

Answer 1

$f(x)=\frac {x^{2}} 4$ y $f(x)=0$ ambos satisfacen la ecuación dada, por lo que $f(6)$ no está determinado de forma única.

Answer 2

Si diferencias la igualdad obtienes $f'(x)=\sqrt{f(x)}$. Ahora puedes resolver esta EDO separable (nota que $f(0)=0$) y obtener tu respuesta.