Pregunta de análisis real sobre la serie convergente $\sum{a_k}$

Question

Me encantaría recibir ayuda con esta pregunta ya que estoy bastante atascado.

Supongamos que $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ es una serie convergente.

Demuestra que la serie $\sum_{k=n}^{\infty}a_k$ converge para cada entero positivo n.

Answer 1

Observe que $$\sum_{k=1}^{\infty}a_k-\sum_{k=1}^{n-1}a_k=\lim_{m\rightarrow \infty}(\sum_{k=1}^ma_k-\sum_{k=1}^{n-1}a_k)=\lim_{m\rightarrow\infty}\sum_{k=n}^ma_k=\sum_{k=n}^{\infty}a_k$$ lo cual da como resultado.

Answer 2

Si $s:=\sum_{k=1}^\infty a_k$ es convergente, entonces por definición tenemos $s_n \to s$ donde $s_n = \sum_{k=1}^n a_k$. Esto significa (una vez más por definición) que para todo $\varepsilon >0$ existe un número $N\in \mathbf N$ tal que $$|s-s_n| < \varepsilon \qquad \text{para todo } n\geq N.$$ Dado que $s-s_n = \sum_{k=n+1}^\infty a_k$, hemos terminado.

Answer 3

Aquí hay otra forma de verlo que puede ser más elegante. Ver la serie como una secuencia de sumas parciales. Es bien sabido que tal secuencia converge si y solo si es de Cauchy. Dado que la suma original es convergente, sus términos son de Cauchy. Por lo tanto, para cualquier $\epsilon$, existe un $N$ tal que $m,n > N \implies \sum_n^m a_i < \epsilon$. Esto es claramente cierto incluso si eliminamos cualquier número de términos al principio.