Cálculo específico para el grado de mapas de $S^1$ a $S^1$.

Question

He comenzado a aprender sobre el grado de un mapa en mi curso de topología algebraica. Al mirar las referencias textuales, parece que mi profesor está dando una descripción menos general y más concreta del grado de los mapas de $S^1 \rightarrow S^1$, pero estoy teniendo problemas con los cálculos. Permíteme escribir la configuración.

Definición: Sea $p:\mathbb{R}\rightarrow S^1$ la aplicación exponencial $p(x)=(\cos(2\pi x),\sin(2\pi x))$.

Teorema (Lema de Levantamiento de Caminos). Si $\alpha:[0,1]\rightarrow S^1$ es una función continua y $x\in\mathbb{R}$ es tal que $p(x)=\alpha(0)$, entonces existe una única función continua $\tilde{\alpha}:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ llamada una elevación de $\alpha$ tal que $p(\tilde{\alpha}(s))=\alpha(s)$ para todo $s\in[0,1]$ y $\tilde{\alpha}(0)=x$.

Definición: Sea $\pi:[0,1]\rightarrow S^1$ la aplicación cociente obtenida por restricción del mapa $p$ al intervalo $[0,1]$.

Definición: Dado un mapa continuo $f:S^1\rightarrow S^1$, sea $\alpha=f\circ \pi$ y $\tilde{\alpha}:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ una elevación. Llamamos al grado de $f$ denotado $deg(f)$ al entero $\tilde{\alpha}(1)-\tilde{\alpha}(0)$.

Ahora el ejercicio en particular en el que estoy atascado es calculando el grado de los mapas $f,g:S^1\rightarrow S^1$; $f(x,y)=(-x,-y)$ y $g(x,y)=(x,-y)$

Para $f$ tengo los siguientes cálculos. Es bastante sencillo calcular $\alpha(0)=(f(\pi(0))=(-1,0)$. Luego puedo tomar $x=1/2$ para que $p(1/2)=(-1,0)=\alpha(0)$. Esto también hace que $\tilde{\alpha}(0)=1/2$ como se indica en el teorema. En lo que estoy atascado es en cómo calcular $\tilde{\alpha}(1)$. Sé que $p(\tilde{\alpha}(1))=\alpha(1)=(-1,0)=\alpha(0)$. Esto significa que $\tilde{\alpha}(1)$ debe ser cualquier entero impar dividido por 2, ya que $p(k)=(-1,0)$ solo cuando $k$ es un número entero impar dividido por 2, pero me parece que cualquier entero impar funcionará. Si alguien puede señalar lo que me falta o cuál es mi error, lo apreciaré mucho.

Answer 1

Consideremos la función $q : [0,1] \to S^1$ como la aplicación cociente para no confundirla con el número real $\pi$. Tenemos que $q = p \mid_{[0,1]}$.

Identificando $(x,y) \in \mathbb R^2$ con $x + iy \in \mathbb C$, podemos escribir $p(x) = e^{2\pi ix}$. Entonces $f(z) = -z$ y $g(z) = \overline z$.

1. Para $\alpha = f \circ q$ tenemos que $\alpha(t) = -e^{2\pi i t}$. Un levantamiento está dado por $\tilde \alpha(t) = t + 1/2$ porque $p(\tilde \alpha(t)) = e^{2\pi i(t + 1/2)} = e^{2\pi it} e^{\pi i} = - e^{2\pi it} = \alpha(t)$. Así que $\deg(f) = \tilde \alpha(1) - \tilde \alpha(0) = 1$.

2. Para $\alpha = g \circ q$ tenemos que $\alpha(t) = \overline{e^{2\pi i t}} = e^{\overline{2\pi i t}} = e^{-2\pi i t}$. Obviamente, un levantamiento está dado por $\tilde \alpha(t) = -t$. Así que $\deg(g) = \tilde \alpha(1) - \tilde \alpha(0) = -1$.