Descripción explícita del anillo cociente de $\mathbb{Z}[x]$

Question

Estoy estudiando para un preliminar y me encontré con este problema:

Describe explícitamente los elementos en el anillo cociente $\dfrac{\mathbb{Z}[x]}{(3,x^3-x+1)}$. En primer lugar, no veo por qué el ideal $(3,x^3-x+1)$ es un ideal maximal en $\mathbb{Z}[x]$. Si hay alguien que pueda ayudarme con esto, será muy apreciado.

Answer 1

Puedes resolver este problema mediante un proceso de dos pasos. Primero, deja que $J = (3, x^3-x+1)$, y deja que $I = (3)$. Estos son ideales de $\mathbb Z[x]$ con $I \subset J$.

El tercer teorema de isomorfismo dice que

$$\mathbb Z[x]/(3,x^3-x+1) = \mathbb Z[x]/J \cong \frac{\mathbb Z[x]/I}{J/I}$$

En otras palabras, el anillo que buscas se puede encontrar tomando el anillo $\mathbb Z[x]/I$ y dividiendo por un ideal en él.

Observa que $\mathbb Z[x]/I \cong \mathbb F_3[x]$, donde $\mathbb F_3$ es el campo con tres elementos. Dentro de este anillo, $J/I$ es solo el ideal en $\mathbb F_3[x]$ generado por $x^3-x+1$.

El problema consiste en describir los elementos del anillo cociente $\mathbb F_3[x]/(x^3-x+1)$. Para hacerlo, primero debes determinar si $x^3-x+1$ es irreducible en $\mathbb F_3[x]$.

Answer 2

Sea $m$ un ideal maximal de $\mathbb Z[x]$ con $(3,x^3-x+1)\subseteq m$. Supongamos que $(3,x^3-x+1)\not=m$ y sea $f\in m\setminus(3,x^3-x+1)\subseteq m$. Dado que $x^3-x+1$ es mónico, tenemos que $f=g(x^3-x+1)+h$, donde $g,h\in \mathbb Z[x]$ y $1\leqslant deg(h)\leqslant 2$. Ahora, como $x^3-x+1\in m$, tenemos que $h\in m$. Consideramos lo siguiente:

Caso 1) $deg(h)=1$: Sea $h=ax+b$. Dado que $3\in m$, asumimos que $a, b\in\{1, 2\}$. Por lo tanto, tenemos las siguientes subcasos:

Subcaso 1a) $a=b=1$: En este caso $x+1\in m$ y como $x^3-x+1\in m$, tenemos que $x(x^2-2)=x^3-2x\in m$. Por lo tanto, $x\in m$ o $x^2-2\in m$. Por lo tanto, $1\in m$ o $x(x+2)=x^2+2=x^2-2+2(x+1)\in m$. Así, $1\in m$ o $x\in m$ o $x+2\in m$ y por tanto $1\in m$, lo cual es una contradicción.

Otros subcasos son similares.

Caso 2) $deg(h)=2$: Sea $h=ax^2+bx+c$. Dado que $3\in m$, asumimos que $a, b, c\in\{1, 2\}$. Por lo tanto, tenemos los siguientes subcasos:

Subcaso 2a) $a=b=c=1$: En este caso $x^2+x+1\in m$ y como $x^3-x+1\in m$, tenemos que $x(x^2-x-2)=x^3-x^2-2x\in m$. Por lo tanto, $x\in m$ o $x^2-x-2\in m$. Por lo tanto, $1\in m$ o $(x^2-x-2)-(x^2+x+1)\in m$, si $1\in m$, lo cual es una contradicción. Ahora, sea $(x^2-x-2)-(x^2+x+1)\in m$, por lo tanto un polinomio de grado uno está en $m$ y por el caso 1 tenemos una contradicción.

Otros subcasos son similares.

Answer 3

$\dfrac{\Bbb Z[x]}{(3,x^3-x+1)}\cong\dfrac{\Bbb Z_3[x]}{(x^3-x+1)}$ por el tercer teorema de isomorfismo.

El segundo es un espacio vectorial tridimensional sobre $\Bbb Z_3$, con base $\{1, \alpha, \alpha^2\}$, donde $\alpha^3-\alpha+1=0$.

Por lo tanto, tiene $27$ elementos, todos de la forma $a\alpha^2+b\alpha+c, a,b,c\in\Bbb Z_3$.

Nota que $x^3-x+1$ es irreducible sobre $\Bbb Z_3$ ya que no tiene raíces.

Answer 4

Los cocientes introducen relaciones.

En este caso, obtenemos $3=0$ y $\theta^3-\theta+1=0$. Por lo tanto, el anillo cociente es $\mathbb Z_3[\theta]$ con $\theta^3-\theta+1=0$.

Los elementos son expresiones polinómicas en $\theta$ con coeficientes en $\mathbb Z_3$.

Para obtener expresiones únicas para cada elemento $f(\theta)$, dividimos $f(x)$ por $x^3-x+1$ y consideramos el resto $r(x)$. Entonces $f(\theta)=r(\theta)$. Nótese que $r(x)$ es $0$ o un polinomio de grado como máximo $2$.

Por lo tanto, el cociente es el conjunto $\{ a_0+a_1\theta+a_2\theta^2 : a_0,a_1,a_2 \in \mathbb Z_3\}$. Las operaciones de anillo son las naturales, sujetas a las relaciones básicas $3=0$ y $\theta^3-\theta+1=0$.