Sea $p\in [1,\infty)\setminus\{2\}$. Supongamos que $(e_n)$ es una secuencia básica en $\ell_p$ (o $L_p$) equivalente a la base de $\ell_p$ ($L_p$). ¿Existe una subsecuencia $(e_{n_k})$ tal que $[e_{n_k}]$ esté complementada?
Respuesta
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La respuesta es sí también para $L_p$, pero no conozco una buena referencia bibliográfica. Para $2 0$, una subsucesión que es $1+\epsilon$-equivalente a la base de vectores unitarios para $\ell_p$ y abarca un subespacio que es $1+\epsilon$-complementado.
Para $1\le p <2$, creo que el resultado fue señalado por Pelczynski pero no conozco una referencia. Se deduce de argumentos similares a los del libro de Wojtaszczyk caracterizando la compacidad débil en $L_1$. Puedes encontrar un esquema del argumento en un artículo que escribí con G. Schechtman:
Operadores de multiplicación en L(Lp) y operadores estrictamente singulares en lp, J. European Math. Society 10 1105-1119 (2008), que puedes descargar desde mi página personal.
EDICION 7 de julio de 2012: El resultado que atribuí a Pelczynski en realidad es debido a Enflo y Rosenthal:
Enflo, Per; Rosenthal, Haskell P. Algunos resultados concernientes a los espacios $L_p(\mu)$. J. Functional Analysis 14 (1973), 325–348.
