¿Son todos los operadores n-arios simplemente composiciones de operadores binarios?

Question

Tomemos por ejemplo $A \times B \cdot C$ = $(A \times B) \cdot C$ donde $A, B, C$ son vectores reales de 3 componentes.

Podemos definir un operador ternario $\times - \cdot$ que es una composición de los dos operadores binarios comunes $\times$ y $\cdot$.

Lo mismo ocurre con la mayoría de las funciones (operadores) - la forma en que los calculamos es haciendo problemas binarios más pequeños y sumándolos.

Cada vez que intento crear un operador $(n > 2)$-ario, mi mente automáticamente busca operadores binarios.

Entonces, la pregunta es, ¿existen operadores (de algún tipo extraño en alguna rama de las matemáticas) que no puedan descomponerse en operadores 2-arios y 1-arios?

Gracias.

Answer 1

Sí, durante la década de 1930 y 1940, Sierpinski investigó composiciones de operaciones ("clones") y demostró que cada operación $n$-aria en un conjunto es una composición finita de operaciones binarias en el conjunto, ver W. Sierpinski, Sur les fonctions de plusieurs variables, Fund. Math. 33 (1945), 169-173. Ver también ver el paper de Jerzy Los, extracto abajo. Una prueba también se encuentra en el libro Álgebra Universal de Paul Cohn. Para algunos trabajos recientes sobre temas relacionados, ver Gratzer, Una Encuesta de algunos problemas abiertos sobre secuencias $p_n$ y espectros libres de Álgebras y variedades.

Una prueba es especialmente simple para operaciones en un conjunto finito $\rm A.\,$ Es decir, si $\rm\,|A| = n\,$ entonces podemos codificar $\rm A $ por $\rm\,\mathbb Z/n,\,$ el anillo de enteros $\!\rm \bmod n,\,$ lo que nos permite emplear la interpolación de Lagrange para representar cualquier operación finitaria como una composición finita de las operaciones binarias $\rm\, +,\ *,\,$ y Kronecker delta $\rm\, \delta(a,b) := 1\,\ if\,\ a=b\,\ else\,\ 0,\,$ es decir

$$\rm f(x_1,\ldots,x_n)\ =\!\!\!\!\!\!\! \sum_{(a_1,\ldots,a_n)\ \in\ A^n\!\!\!\!\!}\!\!\!\!\! f(a_1,\ldots,a_n) \prod_{i\ =\ 1}^n\ \delta(x_i,a_i)\qquad $$

Cuando $\rm\,|A|\,$ es infinito, se puede proceder utilizando funciones de emparejamiento $\rm\,A^2\to A\,.$

Answer 2

Aquí hay otro punto de vista, que aprendí de Richard Garner.

Supongamos que tenemos una teoría algebraica $\mathbb{T}$, es decir, un conjunto fijo de operaciones finitarias y un conjunto de ecuaciones que estas satisfacen. Sea $\mathbb{T}\textbf{-Alg}$ la categoría de todas las $\mathbb{T}$-álgebras y sus homomorfismos. Definimos una operación $n$-aria natural como una familia de funciones $\theta_X: X^n \to X$, indexadas por las $\mathbb{T}$-álgebras $X$, de modo que para todos los homomorfismos $f: X \to Y$, la operación $\theta$ conmuta con $f$, en el sentido de que $$\theta \circ (f \times \cdots \times f) = f \circ \theta$$ donde $f \times \cdots \times f: X^n \to Y^n$ es la función que aplica $f$ a cada componente por separado.

Ahora, es un hecho que cualquier teoría algebraica $\mathbb{T}$ admite una noción de 'álgebra libre de $\mathbb{T}$ en un conjunto de generadores'. Formalmente, esto se define como el funtor $F: \textbf{Set} \to \mathbb{T}\textbf{-Alg}$ que es adjunto izquierdo al funtor olvidadizo $U: \mathbb{T}\textbf{-Alg} \to \textbf{Set}$; en términos más simples, el álgebra libre de $\mathbb{T}$ en un conjunto $S$ es el $\mathbb{T}$-álgebra $F S$ junto con una función $\eta_S: S \to F S$, llamada 'inserción de generadores', de modo que para todas las funciones $f: S \to X$, donde $X$ es una $\mathbb{T}$-álgebra, hay un único homomorfismo de $\mathbb{T}$-álgebra $h: F S \to X$ tal que $h \circ \eta_S = f. En este lenguaje general, su pregunta puede interpretarse de la siguiente manera: ¿es toda operación natural $n$-aria un compuesto de operaciones definidas en $\mathbb{T}$?

¡Resulta que la respuesta es sí! Mediante un simple absurdo abstracto involucrando el lema de Yoneda, se puede mostrar que hay una biyección canónica entre el conjunto de operaciones $n$-arias naturales y el conjunto de elementos de $F \{ e_1, \ldots, e_n \}$. Esto significa que cada operación natural $n$-aria corresponde a cierta cadena de símbolos formados por $e_1, \ldots, e_n$ y las operaciones de la teoría $\mathbb{T}$. Pero esto significa precisamente que la operación $n$-aria $\theta_X: X^n \to X$ se puede escribir como un compuesto de las operaciones de $\mathbb{T}$ junto con los operadores de proyección canónicos $\pi_j: X^n \to X^m$. Por ejemplo, si tomamos $\mathbb{T}$ como la teoría de grupos, y $\theta_X (x_1, \ldots, x_n) = x_1 {x_2}^{-1} x_3 \cdots {x_n}^{(-1)^n}$, entonces la operación $\theta$ corresponde a la palabra $e_1 {e_2}^{-1} e_3 \cdots {e_n}^{(-1)^n}$ en el grupo libre generado por $\{ e_1, \ldots, e_n \}$, y esto es claramente una composición de la multiplicación de grupo y la inversión.

Por supuesto, hay teorías algebraicas $\mathbb{T}$ donde no hay constantes, operaciones unarias o binarias en absoluto. Por ejemplo, $\mathbb{T}$ podría ser la teoría de montones, que tiene una sola operación ternaria. En este contexto no tiene sentido preguntar si esa operación ternaria se puede reescribir como una operación binaria de $\mathbb{T}$, porque simplemente no hay operaciones binarias en $\mathbb{T}$ en absoluto. Pero resulta que cuando aumentamos $\mathbb{T}$ con una constante (¡sin axiomas!), $\mathbb{T}$ se convierte en la teoría de grupos, y sabemos que la teoría de grupos se puede presentar usando una constante, una operación unaria y una operación binaria. Entonces uno podría preguntar: ¿admiten todas las teorías algebraicas $\mathbb{T}$ una presentación usando solo operaciones de aridad a lo sumo $2$? Desafortunadamente, no conozco la respuesta a esto.

Answer 3

Hay dos sentidos triviales en los cuales la respuesta es "sí", siempre se puede reducir a funciones binarias.

Uno de ellos es el operador de emparejamiento: la función que toma cualquier par de objetos y devuelve el par ordenado que los contiene. Así, por ejemplo, dado cualquier función $f$ de cuatro variables, podemos construir una nueva función $g$ (de 1 variable del tipo "par ordenado de pares ordenados de objetos") por $$ g( ((a,b), (c, d)) ) = f(a, b, c, d) $$

Puede resultar instructivo ver esto expresado en términos de una variable de par ordenado. Si $x$ es un par ordenado, entonces la función $L(x)$ es la coordenada izquierda, y $R(x)$ es la coordenada derecha. Entonces, $g$ está definida por $$ g(x) = f(L(L(x)), R(L(x)), L(R(x)), R(R(x)) $$

(con mucho dolor, se podría escribir esto explícitamente como una composición de funciones, pero es doloroso. ¡Usamos las notaciones anteriores por una razón!)

De manera dual, está el operador de trasposición. Nuevamente, si $f$ es una función de cuatro variables, entonces puedo definir una nueva función $h$ que es una función de una variable, cuyos valores son ellas mismas funciones de 3 variables, por $$ h(a)(b, c, d) = f(a, b, c, d)$$

($h(a)$ es una función, así que tiene sentido evaluarla, como arriba. Lo anterior define $h(a)$ puntualmente, y por lo tanto $h$ puntualmente)

Esto se puede iterar: puedes tener una función de una variable cuyos valores son del tipo "Función de una variable cuyos valores son del tipo {Función de dos variables}", definida por: $$ k(a)(b)(c,d) = f(a, b, c, d)$$

Answer 4

Un contexto ligeramente diferente brinda un buen ejemplo. Sea $X=\{0,1\}$ y sea $\mu:X\times X\times X\to X$ la función tal que $\mu(x,y,z)$ es el elemento de $X$ que aparece más veces en el argumento. Esta función $\mu$ no puede ser escrita como una composición de operadores binarios.