Simplificar la probabilidad de eventos

Question

Dados tres eventos exhaustivos $X, Y$ y $Z$, $X$ y $Y$ son mutuamente excluyentes, y $X$ y $Z$ son independientes. Si $P(X) = m, P(Y) = n$ y $P(z) = m$, exprese lo siguiente en términos de $m$ y $n$: $P(Z|X\cup Y)$

No estoy seguro de cómo simplificar esto excepto usando los fundamentos de la probabilidad condicional:

$$P(Z|X\cup Y) = \frac{P(Z \cap (X \cup Y))}{P(X \cup Y)}$$

También sé que $P(X\cup Y) = P(X) + P(Y) = m + n$.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

$P(Z\cap(X \cup Y))=P((Z\cap X)\cup (Z \cap Y)) = P(Z \cap X) + P(Z \cap Y)$ porque $X$ y $Y$ son mutuamente excluyentes.

$P(Z \cap X) + P(Z \cap Y) = P(Z)P(X) + P(Z \cap Y) = m^2 + P(Z \cap Y)$ dado que $X$ y $Z$ son independientes.

$P(Z \cap Y)=P(Z \cap \bar{X})$, ya que $X$, $Y$ y $Z$ son exhaustivos. Pero $P(Z \cap \bar{X})=P(Z)P(\bar{X})=m(1-m)$ dado que $Z$ y $X$ (y por lo tanto $\bar{X}$) son independientes.

Entonces, $P(Z|X \cup Y) = \frac{m^2 + m(1-m)}{m + n}=\frac{m}{m+n}$.