Supongamos que tengo dos polinomios, P(x) y Q(x), del mismo grado y con el mismo coeficiente principal. ¿Cómo puedo comprobar si los dos son equivalentes en el sentido de que existe algún $k$ tal que $P(x+k)=Q(x)$? P y Q están en $\mathbb{Z}[x].
Respuesta
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La condición de $\mathbb{Z}[x]$ no es requerida.
Supongamos que tenemos 2 polinomios $P(x)$ y $Q(x)$, cuyos coeficientes de $x^i$ son $P_i$ y $Q_i$ respectivamente. Si son equivalentes en el sentido de $P(x+k) = Q(k)$, entonces
- Su grado debe ser el mismo, que denotamos como $n$.
- Su coeficiente principal debe ser el mismo, que denotamos como $a_n=P_n=Q_n$
- $P(x+k) - a_n(x+k)^n = Q(x) - a_n x^n$
Al considerar el coeficiente de $x^{n-1}$ en la última ecuación, esto nos dice que $P_{n-1} + nk a_n = Q_{n-1}$.
Esto te permite calcular $k$ en términos de las diversas variables conocidas, en cuyo caso simplemente puedes sustituir y verificar si tenemos equivalencia.
Simplemente podemos verificar que $Q(i) = P(i+k)$ para $n+1$ valores distintos de $i$, lo que nos indica que concuerdan como polinomios de grado $n$.
