El espín $s$ de una partícula caracteriza cómo actúan los generadores de rotación sobre ella. En $D$ dimensiones, representas el grupo pequeño $SO(D-1)$ para las partículas masivas y $SO(D-2)$ para las sin masa. De hecho, realmente necesitas considerar su cubierta universal $\textrm{Spin}(n)$ que resulta ser su doble cubierta.
Ahora, puedes definir el espín como el mayor real $s$ tal que $$ \mathrm{exp}\left(\frac{2i\pi}{s}J\right) = \rm{id} $$ donde $J$ es cualquier generador en tu representación. Básicamente, esta es la afirmación de que, para regresar a la identidad, necesitas realizar una rotación de $4\pi$ para el espín $\frac{1}{2}$, $2\pi$ para el espín 1, $\pi$ para el espín 2... Nota que dado que la cubierta universal es la doble cubierta, $s$ tiene que ser un semientero.
Es evidente que los vectores de Lorentz tienen espín 1. Tomemos un tensor simétrico de 2 componentes $T_{\mu\nu}$. Se transforma como $T'_{\alpha\beta} = R^{\:\,\mu}_{\alpha}R^{\:\,\nu}_{\beta}T_{\mu\nu}$, donde $R = \mathrm{exp}(i\theta J)$ son las matrices usuales de $SO(n)$. Infinitesimalmente, \begin{align} \delta T_{\alpha\beta} & = i\theta(J^{\:\,\mu}_{\alpha}\delta^{\:\,\nu}_\beta + J^{\:\,\nu}_{\beta}\delta^{\:\,\mu}_\alpha)T_{\mu\nu} \\ & = 2 i\theta J^{\:\,\mu}_{\alpha}T_{\mu\beta} \\ \end{align} donde la simetría del tensor es crucial. Ahora, porque $\mathrm{exp}(2i\pi J) = 1$, ves que para $\theta = \pi$, regresas a la identidad. ¡Esto es espín 2!
Puedes generalizar esto para demostrar que los tensores n-simétricos y sin traza son espín n. Necesitas que sean sin traza porque quieres representaciones irreducibles. Con esto, no debería ser muy difícil derivar los grados de libertad de una partícula de espín $s$ en $D$ dimensiones, por ejemplo, para el gravitón, es $D(D-3)/2$.
