Demostrar que si tanto $a$ como $a^m$ tienen orden $n$, entonces $\gcd(m,n) = 1$

Question

Supongamos que $G$ es un grupo, y $a \in G$ tiene orden $n$. Supongamos también que hay un entero $m > 1$ tal que $a^m$ tiene orden $n.

Probar: $\gcd(m,n) = 1$

Lo que tengo hasta ahora:

$\text{orden}(a^m) = n$, entonces tenemos

$$(a^m)^n = a^{mn} = e = a^n$$

donde $e$ es la identidad. ¿Cómo podemos llegar de aquí a $\gcd(m,n) = 1$?

Gracias.

Answer 1

No se puede derivar esa información. Lo que se puede demostrar de esta manera es que el orden de $a^m$ siempre será como mucho $n$, y por lo tanto dividirá a $n.

Para demostrar lo que quieres, puedes proceder de la siguiente manera.

Sea $d = \gcd(m,n)$. Entonces $(a^{m})^{n/d} = (a^{n})^{m/d}= e^{m/d} =e$. Ten en cuenta que esto es válido porque $d\mid m$ y $d \mid n$, por lo que $m/d$ y $n/d$ son enteros.

Por lo tanto, el orden de $a^m$ es como mucho $n/d$. Por lo tanto, si es $n$, entonces $n \le n/d$ y por lo tanto $d=1$.