Mostrar que $r^2 \cot(A/2) \cot(B/2) \cot(C/2) = [ABC]$

Question

En el triángulo $\Delta~ ABC$, $~r~$ es el inradio y $~[ABC]~$ es el área.

Por favor explique $$ r^2 \cot(A/2) \cot(B/2) \cot(C/2) = [ABC]$$ gracias.

Answer 1

$$\cot(A/2)=\sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}~ \mbox{etc} ~\mbox{and}~ \Delta=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$$ $\Delta$ denota el área $[ABC]$ y $s$ es el semiperímetro. Entonces, la expresión dada (llamémosla $F$), es $$F=r^2s \frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{(s-a)(s-b)(s-c)}=\frac{r^2s^2\Delta}{\Delta^2}=\frac{\Delta^3}{\Delta^2}=\Delta.$$ Aquí $\Delta$ es el área y hemos usado $\Delta=rs.$.

Answer 2

\begin{align} [ABC]&=[IAB]+[IBC]+[ICA] . \end{align}

\begin{align} [IAB]&=\tfrac12\cdot|AB|\cdot|IC_t| =\tfrac12(|AC_t|+|BC_t|)\cdot|IC_t| =\tfrac12(r\cot\tfrac\alpha2+r\cot\tfrac\beta2)\cdot r =r^2(\tfrac12\,\cot\tfrac\alpha2+\tfrac12\,\cot\tfrac\beta2) . \end{align}

Similarmente,

\begin{align} [IBC]&= r^2(\tfrac12\,\cot\tfrac\beta2+\tfrac12\,\cot\tfrac\gamma2) ,\\ [ICA]&= r^2(\tfrac12\,\cot\tfrac\gamma2+\tfrac12\,\cot\tfrac\alpha2) . \end{align}

Por lo tanto,

\begin{align} [ABC]&=[IAB]+[IBC]+[ICA] =r^2(\cot\tfrac\alpha2+\cot\tfrac\beta2+\cot\tfrac\gamma2) . \end{align}

Y \begin{align} \cot\tfrac\alpha2+\cot\tfrac\beta2+\cot\tfrac\gamma2 &= \cot\tfrac\alpha2\cot\tfrac\beta2\cot\tfrac\gamma2 \quad \text{para }\alpha+\beta+\gamma=180^\circ \end{align}
es una identidad trigenométrica triple de cotangentes, que es fácil de comprobar usando sustitución

\begin{align} \cot\tfrac\gamma2&= \frac{\cot\tfrac\alpha2+\cot\tfrac\beta2}{\cot\tfrac\alpha2\cot\tfrac\beta2-1} . \end{align}