Prop. 3.2.15 en Liu: Variedad algebraica geométricamente reducida

Question

Tengo un problema con la proposición 3.2.15 de Geometría algebraica y curvas aritméticas de Qing Liu: Sea $X$ una variedad algebraica integral sobre $k$. Si $X$ es geométricamente reducida entonces $K(X)$ es una extensión finita y separable de una extensión puramente trascendental $k(T_1, \ldots , T_d)$.

Primero demostramos que $K(X)$ es una extensión finita de una extensión puramente trascendental $k(X_1,\ldots,X_r)$: Estoy de acuerdo con eso. Sea $L=k(X_1,\ldots,X_r)$ y $L_s$ la clausura separable de $L$ en $K(X)$.

Luego demostramos que para todo $b\in K(X)\setminus L_s$ tal que $b^p\in L_s$, $L_s[b]$ es una extensión finita y separable de una extensión puramente trascendental $k(Y_1,\ldots,Y_q)$: Estoy de acuerdo con eso.

Mi problema y pregunta surgen con la conclusión: "Esto implica la proposición al descomponer $K(X)/L_s$ en una secuencia de extensiones puramente inseparables de grado $p = \operatorname{char}(k)$." No entiendo eso.

Veo que $K(X)=L_s[b_1,\ldots,b_m] así que ¿$L_s[b]$ sería un primer paso para la inducción? ¿Pero para eso necesito que todos los $b_i$ verifiquen $b_i^p\in L_s$ y no veo cómo lograrlo (pero sé que $K(X)$ es puramente inseparable sobre $L_s$ pero eso no me ayuda.)

Luego necesitaría continuar con $L_s[b_1,b_2]$ pero ¿cómo construir una extensión puramente trascendental $k(Z_1,\ldots,Z_q)$ sobre $L_s[b_1,b_2]$ que sea finita y separable?

Answer 1

Han pasado 11 años pero creo que puedo responder a eso. Como dijiste, $$K(X)/L_s \text{ es puramente inseparable y }K(X)=L_s[b_1,...,b_m].$$ Por la definición de puramente inseparable, para cada $b_i$ hay un poder $b_i^{p^n_i}$ tal que $b_i^{p^n_i}\in L_s.$

Para simplificar, sea $b$ igual a $b_1$ y $n_1=n$ para que $b^{p^n}\in L_s.$ Entonces para el elemento $b^{p^{n-1}}$ tienes que: $$b^{p^{n-1}}\not\in L_s\text{ y }(b^{p^{n-1}})^p\in L_s.$$

Pero luego obtienes que $L_s[b^{p^{n-1}}]$ es una extensión finita y separable de una extensión puramente trascendental, que podemos denotar como $L'$. Y ahora empezamos de nuevo: Si $K(X)/L'$ es separable, hemos terminado. De lo contrario, toma el cierre separable $L'_s$ de $L'$ y repite. Nota que en la nueva extensión, es decir $L'_s$, el elemento $b^{p^{n-1}}$ ahora está adentro.

Dado que $[K(X):L'_s]\leq [K(X):L_s]<\infty$, en un número finito de pasos tendrás lo siguiente: Una extensión $\Lambda$ que es finita y separable sobre alguna extensión puramente trascendental y $K(X)=\Lambda[b']$ con $(b')^p\in \Lambda$. Y por lo tanto nuevamente por lo que has escrito, $\Lambda[b']$ será finita y separable sobre alguna extensión puramente inseparable y habremos terminado.