Lo que descubrí es llamado un punto fijo de la iteración.
Un punto fijo $x$ de una función de $f\colon X\rightarrow X$ es un punto de
satisfacer la ecuación de $$x=f(x).$$
Un punto fijo de la iteración es definido por la secuencia
\begin{align*}x_{1}&=\text{given}\\x_{n+1}&=f(x_{n})\text{ for }n>0.\end{align*}
Decimos esto iteración converge al $x_{n}\rightarrow x$ algunos $x$. El punto fijo de Banach thereom (un.k.una. asignación de contracción principio) da condiciones suficientes para que cuando un punto fijo existe, es único, y puede ser calculada por un punto fijo de la iteración (es decir, como límite de la $x_{n}$). Usted debe leer el artículo en la Wikipedia para familiarizarse con las ideas.
Para simplificar, vamos a suponer $X=\mathbb{R}$ en lugar de un arbitrario completa de espacio métrico, como suele ser tratados en la declaración del punto fijo de Banach teorema. Una de las consecuencias del teorema es la siguiente: vamos a $Y\subset X$ tal que $f$ es continuamente diferenciable en $Y$, $\sup_{Y}|f^{\prime}|\leq K$ para algunos $K<1$, e $f(Y)\subset Y$, $f$ tiene un único punto fijo en $Y$ que puede ser calculado por un punto fijo de la iteración inicializado en $Y$ ($x_{1}\in Y$).
En el primer ejemplo, usted tiene $f(x)=\sqrt{1+x}$. Deje $Y=[0,\infty)$. Tomando nota de que $|f^{\prime}(x)|<1$ $Y$ (check) y $f(Y)\subset Y$ trivialmente, se deduce que para cualquier $x_{1}\in Y$, $x_{n}\rightarrow x$ donde $x$ es el único punto fijo de $f$$Y$. De hecho, este punto fijo debe satisfacer $x=f(x)=\sqrt{1+x}$, o lo que es equivalente, ya que $x\geq0$, $x^{2}=1+x$. Esta ecuación cuadrática tiene dos raíces: $x=1/2\pm\sqrt{5}/2$. El positivo de la raíz es, como usted ha señalado, la proporción áurea $1.61803\ldots$
Su otro problema, involucra $f(x)=\sqrt[x]{c}$. No es tan claro bajo qué condiciones esto satisface el punto fijo de Banach teorema. De hecho, como se dio cuenta, se pueden encontrar ejemplos en los que la iteración es nonconvergent.
No se desespere, aunque, hay mejores maneras de calcular las soluciones de la ecuación. Uno que viene a la mente es el método de Newton, que usted debe tomar un vistazo.
De hecho, una solución a su problema está dada por la función W de Lambert como
$$x = \frac{\ln c}{W(\ln c)}.$$
Los valores de la W de Lambert son, de hecho, a menudo calculado por el método de Newton, o de mayor orden que el de Newton métodos.
Anexo
El método de Newton para $g(x)=x^{x}-c$ está dado por \begin{align*}x_1&=\text{given}\\x_{n+1}&=f(x_{n})\text{ for }n>0\end{align*} donde $$f(x)=x+\frac{cx^{-x}-1}{1+\ln x}. $$ Since $g^{\prime\prime}(x)\geq0$ for $x>0$ and $f(x)>1/e$ for $x>1/e$ (check), it follows that Newton's method converges whenever $x_{1}>1/e$ and $x=f(x)$ has a solution with $x>1/e$ (see this). This is true at least when $c\geq1$, por lo que podemos concluir:
El método de Newton para $x^x - c = 0$ converge para $c \geq 1$$x_1 > 1/e$.
Aquí un poco de código de MATLAB:
c = 100.; % Value of c
x = 1.; % Initial guess
while 1
x_new = x + (c*x^(-x) - 1)/(1 + log(x));
if abs (x_new - x) < 1e-12; break; end
x = x_new;
end
disp (x) % Solution
