$a<b$ y $f(a)=f(b)$ entonces $f \equiv 0$ en $[a,b]$ cuando $f´(x)=[f(x)]^2$

Question

Sea $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función diferenciable que satisface $f´(x)=[f(x)]^2 \;\;\forall x \in \mathbb{R}$. Demuestra que si $a y $f(a)=f(b)$ entonces $f$ es la función nula en $[a,b]$.

Intenté esto: $f´(x)=[f(x)]^2\geq 0$, entonces $f$ es no decreciente en $[a,b]$, lo que significa que $f(x)\geq f(a) \;\; \forall x \in [a,b]$. Si hay un $c \in [a,b]$ tal que $f(c) \neq 0$, entonces, dado que $a, nunca puede darse el caso de que $f(a)=f(b)$.

¿Es esto correcto? No sé si estoy siendo lo suficientemente riguroso...

Answer 1

$f$ está aumentando como observaste, entonces $f(a)=f(b)$ es posible solo cuando $f$ es una constante. [ $f(b)=f(a) \leq f(x) \leq f(b)$ da $f(x)=f(b)$]. Pero entonces $[f(x)]^{2}=f'(x)=0$ para todo $x$ así que $f \equiv 0$.

Answer 2

Creo que faltan algunos argumentos. En mi opinión, lo siguiente no está exactamente claro.

Si hay $c \in [a,b]$ tal que $f(c) \neq 0$, entonces, dado que $a, nunca puede darse el caso de que $f(a)=f(b)$.

Si $f(x)\neq0$, ¿por qué es $a? En ninguna de tus suposiciones se dice que $f(a)=0$.

Sin embargo, hay una manera de corregir este argumento. Tienes que usar tu suposición de que $f$ es no decreciente en $[a,b]$. ¿Puedes continuar?