Esta teoría es equivalente a la teoría de un orden lineal discreto con un elemento mínimo y sin elemento máximo, es decir, la teoría de $\langle\mathbb{N},<\rangle$. Desde max podemos definir el orden y viceversa, y desde el orden podemos definir el sucesor. Por lo tanto, en realidad no necesitas el sucesor si tienes max ya que es definible. Y por supuesto $0$ es definible. No se necesita ningún axioma de inducción, ya que la teoría ya es completa al hacer solo afirmaciones muy básicas.
Un orden lineal discreto es un orden lineal en el que cada punto no maximal tiene un sucesor inmediato y cada punto no mínimo tiene un predecesor inmediato. La teoría de un orden lineal discreto es una de las teorías estándar estudiadas en la teoría de modelos introductoria, así que permíteme mencionar algunas de las propiedades de la teoría de modelos notablees.
- La teoría de un orden lineal discreto con elemento minimal $0$ y sin elemento maximal admite la eliminación de cuantificadores en la expansión con una constante para $0$ y la operación sucesor. Es decir, cada afirmación es equivalente a una afirmación libre de cuantificadores en este lenguaje expandido. (Resultados similares se aplican a las otras situaciones en los extremos.)
- Los modelos de esta teoría consisten en $\mathbb{N}+\mathbb{Z}\cdot L$, es decir, una copia inicial de $\mathbb{N}$ seguida por cualquier cantidad de cadenas de $\mathbb{Z}$, colocadas en cualquier orden lineal $L$ entre sí.
- Dado que todos estos modelos están de acuerdo en afirmaciones libres de cuantificadores en el lenguaje con 0 y sucesor, se deduce del resultado de eliminación de cuantificadores que la teoría es completa, y por lo tanto esta es exactamente la teoría de $\langle\mathbb{N},0,<\rangle$.
- Esta teoría no es categórica en ningún poder infinito, ya que podemos tomar las cadenas de $\mathbb{Z}$ en diferentes órdenes no isomorfos.
- La teoría es decidible. Esto se deduce de ser computablemente axiomatizable y completa, ya que podemos buscar pruebas. Pero también se deduce del resultado de eliminación de cuantificadores, ya que cualquier enunciado dado es demostrablemente equivalente a un enunciado libre de cuantificadores, que podemos encontrar mediante el proceso de eliminación de cuantificadores (o buscando pruebas), y la verdad de enunciados libres de cuantificadores se decide fácilmente, ya que dicho enunciado es una combinación booleana de afirmaciones triviales sobre sucesores de $0$.
En particular, todas estas cosas también se aplicarán a tu teoría (en el lenguaje con 0, $S$, max). Tu teoría admite la eliminación de cuantificadores, tiene una axiomatización completa simple, tiene un claro espectro de modelos que comprendemos completamente, no es categórica en ningún poder infinito, es decidible, y así sucesivamente.
Mientras tanto, es interesante demostrar que max no es definible a partir de sucesor, por lo que tu teoría es estrictamente más fuerte que la teoría de sucesor. Se puede ver esto observando que cada modelo de la teoría de sucesor consiste en una copia de $\mathbb{N}$ y luego algunos números de cadenas de $\mathbb{Z}$ una al lado de la otra, con sucesor actuando como se espera dentro de cada cadena. Dado que podemos permutar esas cadenas de $\mathbb{Z}$ mientras se preserva $S$, muestra que ningún orden lineal es definible. Y tampoco lo es max. La teoría de sucesor no es categórica para modelos contables---tiene un número contable de modelos dependiendo del número de cadenas de $\mathbb{Z}$ que estén presentes, pero es categórica en todos los poderes no contables, ya que el número de cadenas de $\mathbb{Z}$ será el mismo que el tamaño del modelo no contable, y por lo tanto todos los modelos de una cierta cardinalidad no contable son isomorfos.
