Si por "universo dominado por la constante cosmológica" te refieres a $Ω_Λ=1$, es decir, al espacio de de Sitter, entonces esto es bastante fácil de resolver. Puedes utilizar las coordenadas estáticas de de Sitter,
$$ds^2 = (1-r^2/R^2)\,dt^2 - (1-r^2/R^2)^{-1}dr^2$$
en el cual hay una noción natural de distancia constante, es decir, ambas galaxias estando a alguna constante $r$ independiente de $t$. (Esto concuerda con la distancia por radar, e incluso puedes mantenerlo con una varilla moviéndose rígidamente). En lugar de resolver las ecuaciones de movimiento, puedes utilizar el hecho de que $(dr/ds)^2-(r/R)^2$ es una constante de movimiento, con el primer término siendo en efecto energía cinética y el segundo potencial gravitatorio. A partir de esto puedes encontrar fácilmente la "velocidad de escape" de una galaxia a la otra, dado sus posiciones (si ambas están alineadas con el origen).
Si te refieres a algo como nuestros parámetros actuales, con $Ω_m \gg 0$, entonces el problema es mucho más complicado y no creo que esté bien definido.
Tu segundo paper (Clavering) señala correctamente que la noción de distancia constante en el primer paper (Davis et al) es dudosa ya que no se reduce a distancia constante en el espacio de Minkowski. La distancia por radar evita ese problema, pero tiene otro problema: no es recíproca, es decir, si B está a una distancia constante por radar de A, entonces A no está generalmente a una distancia constante por radar de B. Al menos, no parece ser recíproco. Verificar directamente eso es complicado porque las líneas de mundo obtenidas a partir de esta definición son tan complicadas, lo cual es otro problema con ella.
Además, aunque la distancia por radar evita el problema de las galaxias alejándose con corrimiento al azul en el espacio de Minkowski, no lo evita en general. Incluso en el espacio de de Sitter, las galaxias estacionarias en diferentes $r$ en coordenadas estáticas se verán mutuamente con corrimiento al rojo/al azul, y si les das pequeñas velocidades no nulas puedes crear situaciones en las cuales se están alejando en distancia por radar pero con corrimiento al azul, o viceversa. La distancia de cero corrimiento evita esto por construcción en una dirección, pero no es recíproca y no coincide con la noción natural de distancia en el espacio de de Sitter.
El problema fundamental lamentablemente no es solucionable: no hay una buena definición de distancia constante en espacios de FLRW.
Mi inclinación es resolver el problema en un modelo Newtoniano simplificado, porque las "correcciones" de la GR al resultado Newtoniano no son ni siquiera obviamente significativas.
En el modelo Newtoniano, hay una esfera uniforme de materia centrada en el origen con un radio de $a(t)R$, donde $R$ es lo suficientemente grande como para que la esfera incluya todo el experimento. La universalidad de la gravedad implica inmediatamente que el movimiento de caída libre de una partícula de prueba satisface $x''(t)/x(t) = a''(t)/a(t)$. Esto es lo mismo que la ecuación (14) de Davis et al. La distancia Newtoniana también coincide con la medida de distancia utilizada en Davis et al. (Eso no significa que crea que estaban en lo correcto al usarla en un contexto general-relativista.) Deberías poder sustituir un $a(t)$ en particular y resolver el problema bastante fácilmente.
Comentarios misceláneos:
Ambas galaxias probablemente se encuentran en marcos de referencia acelerados.
Observa que debido al flujo de Hubble de fondo, no hay relatividad del movimiento aquí. Existen casos distintos donde una galaxia tiene una velocidad peculiar cero y la otra acelera para mantenerse a una distancia fija (sin importar cómo se defina), y donde ambas tienen una velocidad peculiar y ambas aceleran, simétricamente o no. Puedes ver esto en el caso de de Sitter.
(Además, "en marcos de referencia acelerados" no tiene sentido; simplemente di que las galaxias están acelerando o no inerciales.)
Esto puede entenderse por el hecho de que las velocidades peculiares de ambas galaxias normalmente tienden a cero, y por lo tanto, la expansión las alejaría. Por lo tanto, una fuerza debe actuar sobre ellas para mantenerlas juntas.
Las velocidades peculiares tienden a cero en tiempos tardíos en un universo en expansión, pero eso no significa que las galaxias comenzarán a alejarse inmediatamente dados estas condiciones iniciales. Davis et al señalan correctamente que si $Ω_m \gg 0$ entonces la distancia entre ellas probablemente disminuirá al principio si se mueven geodésicamente. Llaman a eso contra intuitivo en el abstracto, pero la razón para ello es simplemente, bueno, la gravedad. Hay materia entre las galaxias, y las atrae, por lo que aceleran hacia adentro. Para contrarrestar eso necesitas una aceleración hacia afuera no gravitatoria.
Observa que las velocidades peculiares tienden a cero no es un efecto de expansión del espacio. Sucede incluso en el modelo Newtoniano, esencialmente porque un objeto con una velocidad peculiar se moverá a otro lugar, "deteniéndose" solo cuando su velocidad coincida con la materia de fondo.
Es tentador especular que $v_1=v_2$ debido a conservación de energía, pero en un universo en expansión gobernado por la GR, la conservación de energía no está realmente bien definida.
La conservación de energía se viola incluso en el modelo Newtoniano, porque trata al flujo de Hubble como un fondo fijo. Es cierto que definir una energía conservada es problemático en la GR, pero podrías hacer mucho mejor que Davis et al al incluir la reacción de fondo sobre la materia FLRW, a costa de hacer el análisis enormemente más complicado.
