Problema basado en funciones compuestas.

Question

Deje $f(x) = \sin^{2}{x} + \sin^{2}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \cos{x}\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ y $g(x) = \left\{\begin{array}{rcc} 2x,\quad0\le x<1 \\x + \frac{1}{4},\quad 1 \le x<2 \end{array}\right.$ , luego encuentra $g\{f(x)\}$.

Realmente estoy confundido con este.

Answer 1

En primer lugar, tienes que darte cuenta de que básicamente hay dos casos que debes considerar. El primero es cuando $0

Answer 2

Tenga en cuenta que $f(x)$ se puede escribir como $$f(x) = \sin^{2}{x} + \sin^{2}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \cos{x}\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$ $$=1-\cos^{2}{x} + 1-\cos^{2}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \cos{x}\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$ $$=2-\frac{3}{4}\cos^{2}{x}-\left[\frac{1}{2}\cos{x}-\cos(x+\frac{\pi}{3})\right]^2.$$ Dado que $$\cos(x+\frac{\pi}{3})=\cos x\cos\frac{\pi}{3}-\sin x\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\cos{x}-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x,$$ tenemos $$f(x) = 2-\frac{3}{4}\cos^{2}{x}-\Big(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\Big)^2=2-\frac{3}{4}\cos^{2}{x}-\frac{3}{4}\sin^{2}{x}=2-\frac{3}{4}=\frac{5}{4}.$$ Por lo tanto, $$g(f(x))=g(\frac{5}{4})=\frac{5}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$$.