Partición de $\mathbb{N}$ en $\aleph_0$ conjuntos infinitos

Question

Teorema - Existe una división de $\mathbb{N}$ en $\aleph_0$ conjuntos para que cada conjunto tenga un cardinal de $\aleph_0$.

No sé ni por dónde empezar para demostrar este teorema.

Answer 1

Por ejemplo:

Deje que un número natural $a$ pertenezca al $n$-ésimo conjunto de la partición si $a$ tiene exactamente $n$ factores primos.
(Y ponga $0$ y $1$ en cualquiera de ellos, digamos en el primero.)

Answer 2

Ponga un número en $A_n$ si es divisible por $2^n$ pero no por $2^{n+1}$. Entonces $A_0, A_1, A_2, \ldots$ son conjuntos infinitos mutuamente disjuntos cuya unión es $\mathbb N.

Answer 3

Cuando se hace una partición de $\mathbb N$, la cardinalidad más grande que se puede producir es $\aleph_0$, ya que no se pueden crear conjuntos con más elementos, e incluso si se particiona $\mathbb N$ en sus elementos individuales, todavía hay solo $\aleph_0$ elementos. Entonces, en este caso, podemos simplificar conceptualmente el problema en la partición de $\mathbb N$ en particiones infinitas donde cada partición tiene una cardinalidad infinita.

Hay montones de formas de hacer esto. Una forma: particionar $\mathbb N$ en conjuntos que contienen $\{p,p^2,p^3, \dots \}$ para cada número primo $p$. Colocar todos los elementos restantes en un conjunto. Hay $\aleph_0$ números primos, por lo que tendrás $\aleph_0$ particiones. Y cada partición contiene $\aleph_0$ elementos.

Answer 4

Dado que ya hay algunas formas diferentes aquí, aquí está mi preferencia personal:

Coloque $1$ en la primera partición. Coloque $2$ en la segunda partición y $3$ en la primera partición. Coloque $4$ en la tercera partición, $5$ en la segunda partición y $6$ en la primera partición. Y así sucesivamente.