¿Por qué nos importa el orden de los elementos si estamos buscando los tipos de isomorfismo?

Question

Tengo que estudiar varias cosas durante el curso de álgebra abstracta. Entre ellas se encuentran:

1. un teorema sobre grupos abelianos finitamente generados, que dice que para un grupo abeliano finitamente generado $G$ existen números $s,n \in \mathbb{N}_0$, $d_1, \ldots, d_s \in \mathbb{N}_{>1}$ con $d_i \mid d_{i+1}$ para $i \in \{1, \ldots, s-1\}$ y $G \cong Z_{d_{1}} \times \cdots \times Z_{d_s}\times Z_\infty \times \cdots \times Z_\infty$;
2. el hecho de que $(\mathbb{Z}/ (n))^\times$ consiste en todas las clases $\bar{a}$ tales que $mcd(a,n)=1$.

Aquí, $Z_d$ representa un grupo cíclico de orden $d$ y $R^\times$ es el grupo de unidades del anillo $R$.

Ahora tengo un ejercicio en el cual debo determinar los tipos de isomorfismo para diferentes grupos. Al leer la solución, no comprendo especialmente por qué el orden de los elementos define los tipos de isomorfismos. En particular,

1. $((\mathbb{Z}/(8))^\times = \{\bar{1}, \bar{3}, \bar{5}, \bar{7}\}$, por lo que los tipos $Z_2 \times Z_2$ y $Z_4$ son posibles. La solución dice, como cada elemento tiene un orden $\le 2$ tenemos $(\mathbb{Z}/(8))^\times \cong Z_2 \times Z_2$. Me pregunto dónde está el puente, por qué importa, por qué el orden determina el tipo de isomorfismo y por qué $Z_4$ no es posible.

2. $(\mathbb{Z}/(10))^\times=\{\bar{1}, \bar{3}, \bar{7}, \bar{9}\}$. La solución dice, como $ord(3) > 2$ tenemos $(\mathbb{Z}/(10))^\times \cong Z_4$. Tengo las mismas preguntas que anteriormente.

3. $(\mathbb{Z}/(15))^\times = \{\bar{1}, \bar{2}, \bar{4}, \bar{7}, \bar{8}, \bar{11}, \bar{13}, \bar{14}\}$. La solución dice que tenemos tres tipos posibles: $Z_2 \times Z_2 \times Z_2, o Z_2 \times Z_4, o Z_8$. Estoy de acuerdo en eso porque corresponde al teorema. Para el primer caso, todos los elementos deben ser autoinversos, lo cual no encaja. Estoy de acuerdo, $(2)^{-1}=8$, pero ¿cómo se relaciona con el tipo de isomorfismo? En el grupo $Z_8$ solo hay un elemento de orden $2$, que es $a^4$. Tampoco encaja. Estoy de acuerdo, tenemos $(4)^{-1}=4, (11)^{-1}=11$, así que hay al menos dos elementos de orden $2$, pero ¿cómo se relaciona con el tipo de isomorfismo? Finalmente, solo nos quedan $Z_2, \times Z_4$, que es el tipo de isomorfismo.

Entonces, ¿podrías por favor explicarme qué me falta y explicarme eso utilizando estos tres ejemplos simples? No entiendo la lógica y el arte detrás de usar el orden de un elemento para determinar el tipo de isomorfismo de un grupo. Estoy triste porque me falta algo básico que parece ser evidente para el autor de este ejercicio, pero quiero aprenderlo.

Answer 1

Aquí tienes un pequeño lema útil:

Si $f : A \to B$ es un isomorfismo entre dos grupos, y si $a \in A$ y $b=f(a) \in B$, y si $a$ y $b$ tienen orden finito, entonces el orden de $a$ es igual al orden de $b$.

Aquí está la prueba. Sea $m$ el orden de $a$ y sea $n$ igual al orden de $b$. Se sigue que $$\text{Id}_B = f(\text{Id}_A) = f(a^m) = f(\underbrace{a a \ldots a}_{\text{$m$ veces}}) = \underbrace{f(a) f(a) \ldots f(a)}_{\text{$m$ veces}} = \underbrace{b b \ldots b}_{\text{$m$ veces}} = b^m $$ y por lo tanto $n \le m$ (por supuesto hay un argumento de inducción oculto aquí, en el cual se demuestra que $f(a^i)=b^i$ para todo $i \ge 1$). De manera similar, usando el isomorfismo inverso $f^{-1}$, se demuestra que $m \le n$. Por lo tanto $m=n$.

Como corolario, si los grupos $A,B$ son isomorfos, y si $A$ no tiene elementos de orden $4$, entonces $B$ tampoco tiene elementos de orden $4$. Esto debería resolver tu ejemplo $(\mathbb Z / (8))^\times$.

Estoy seguro de que ahora puedes encontrar cómo aplicar una lógica similar a otros ejemplos (y, por favor, solo una pregunta por publicación).

Y, por cierto, la afirmación de ese lema es innecesariamente débil. Si observas la prueba, verás que se demuestra algo más fuerte, es decir, no necesitas asumir que $a$ y $b$ tienen orden finito. La prueba muestra que si $a$ tiene orden finito entonces también lo tiene $b$, y si $b$ tiene orden finito entonces también lo tiene $a$, y por lo tanto $a$ tiene orden finito si y solo si $b$ tiene orden finito.

Answer 2

1. Si cada elemento de un grupo $G$ tiene un orden $\le2$, $G$ no puede ser (isomorfo a) $(\mathbb Z_4,+)$ porque en $\mathbb Z_4$ hay elementos de orden $4$.
2. Si algún elemento de un grupo $G$ tiene un orden $>2$, $G$ no puede ser (isomorfo a) $(\mathbb Z_2,+)^2$ porque en $\mathbb Z_2^2$ cada elemento tiene un orden $\le 2$.
3. No ser autoinverso es equivalente a tener un orden $>2$.
   Si un grupo $G$ tiene al menos dos elementos de orden $2$, $G$ no puede ser (isomorfo a) $(\mathbb Z_8,+)$ porque este último tiene solo un elemento de orden 2.
   Por cierto, los elementos de orden 2 en $(\mathbb{Z}/(15))^\times$ no son $\bar7^{-1}=\bar{13}$ sino $-\bar1=\overline{14}$, $\bar4$ y $-\bar4=\overline{11}$.