¿Cómo mostrar que el grupo $ (\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^* $ tiene elementos de orden $2$?

Question

Deje $ n \in \mathbb{N} $ tener la factorización prima $ n = 2^e p_1^{e_1}...p_r^{e_r}, $

con $ 0 \leq e $ y primos impares entre sí $ p_1,...,p_r $

y $ 1 \leq e_1,...,e_r. $

¿Cómo se prueba entonces que el grupo $ (\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^* $ tiene

$ \left\{ \begin{array} {ll} 2^r-1, \text{ si } e=0 \lor 1 \\ 2^{r+1} -1 , \text{ si } e=2 \\ 2^{r+2} -1 , \text{ si }3 \leq e \end{array} \right.$

elementos de orden $2$?

¡Agradezco cualquier ayuda, porque realmente no estoy seguro de cómo demostrarlo!

Answer 1

Según el teorema chino del resto, las soluciones de $a^2\equiv1\bmod n$

corresponden a soluciones de $a^2\equiv1 \bmod 2^e$, $a^2\equiv1 \bmod p_1^{e_1},\dots,$ y $a^2\equiv1 \bmod p_r^{e_r}$.

• Si $e=0$ o $1$, hay una solución a $a^2\equiv1\bmod2^e: \;a\equiv1 \bmod 2^e$.

• Si $e=2$, hay $\color{blue}{2}$ soluciones a $a^2\equiv1\bmod2^e:\; a\equiv1$ o $-1\bmod 2^e$.

• Si $e\ge3$, hay $\color{brown}4$ soluciones a $a^2\equiv1\bmod 2^e:\; a\equiv\pm1$ o $2^{e-1}\pm1\bmod 2^e$.

• Hay dos soluciones a $a^2\equiv1\mod p_i^{e_i}:\; a\equiv1$ o $-1\bmod p_i^{e^i}$.

Por lo tanto, juntando esto mediante el teorema chino del resto,

hay $2^r$ soluciones a $a^2\equiv1\bmod n$ si $e=0$ o $1$,

$\color{blue}2\times2^r=2^{r+1}$ soluciones a $a^2\equiv1\bmod n$ si $e=2$,

y $\color{brown}4\times2^r=2^{r+2}$ soluciones a $a^2\equiv1\bmod n$ si $e\ge3$.

En cada caso, una de las soluciones es $a\equiv1\bmod n$, la cual tiene orden $1$, y las otras tienen orden $2$.