Determinar el punto singular de $f(z)=\frac{e^z}{\sin\frac{1}{z}}$ en $z=0$ y $z=\infty$

Question

Determinar el punto singular de $f(z)=\frac{e^z}{\sin\frac{1}{z}}$ en $z=0$ y $z=\infty

Creo que $z=0$ es un punto singular esencial porque no puedo encontrar el límite de esta función y $z=\infty$ es un punto singular removible.

¿Estoy en lo correcto?

Answer 1

Dado que $e^z$ es no singular en $z=0$ y $e^0=1$, simplemente puedes ver $$ \frac{1}{\sin(1/z)} $$ y esto no tiene límite cuando $z\to0$: acerca de $0$ con $\frac{2}{(2n+1)\pi}$ o $-\frac{2}{(2n+1)\pi}$.

La función dada tampoco tiene límite cuando $z\to\infty$. En su lugar, considera $$ g(w)=\frac{e^{1/w}}{\sin w} $$ y su comportamiento en $0$. Para que $0$ sea una singularidad removible necesitas $\lim\limits_{w\to0}e^{1/w}=0$, lo cual no se cumple. ¿Puede ser $w=0$ un polo?