Encuentra la ecuación de un cono con el vértice en el origen y que pasa a través del círculo $(x-2)^2+(y-3)^2 = 5, z = 3$.

Question

Encuentra la ecuación de un cono con vértice en el origen y que pase a través del círculo $(x-2)^2+(y-3)^2 = 5, z = 3$.

Lo que he intentado:

No se ha mencionado explícitamente si el cono es recto circular - y se espera que encontremos la ecuación de la superficie. Además, no puedo trabajar sin el ángulo semi-vertical del cono. Puedo encontrar la distancia entre el origen y (2,3,3), que es el centro del círculo; y también el radio del círculo, que es la raíz cuadrada de 5. Estoy intentando asumir un punto (x,y,z) en el cono y establecer una ecuación para relacionar las variables.

Realmente no sé qué hacer a continuación. ¡Por favor ayúdame a resolver este problema, gracias! (Si es posible, ayúdame a visualizarlo también)

Answer 1

Observa que se trata de un cono oblicuo con intersección circular $xy$. Debido a que el cono tiene su vértice en el origen, la dimensión del círculo $xy$, es decir, las coordenadas de su centro y su radio, cambia linealmente con $z$.

Dado que el centro del círculo $xy$ es (2,3) en $z=3$ y debido a la proporcionalidad con respecto al origen, el centro del círculo $xy$ en $z$ es $(2z/3, z)$. De manera similar, el radio del círculo en $z$ es $\sqrt{5}z/3$.

Por lo tanto, la ecuación para el cono es,

$$\left(x-\frac{2}{3}z\right)^2 + (y-z)^2 = \frac{5}{9}z^2$$

Answer 2

El cono deseado es la unión de las líneas a través del origen $(0,0,0)$ y los puntos $$(2+\sqrt{5}\cos(\theta),3+\sqrt{5}\sin(\theta),3)\quad \text{con $\theta\in [0,2\pi)$}$$ a lo largo del círculo dado. Cualquier línea de este tipo se da de manera paramétrica como $$\begin{cases}x(t)=(2+\sqrt{5}\cos(\theta))t\\ y(t)=(3+\sqrt{5}\sin(\theta))t\\z(t)=3t\\\end{cases}$$ Ahora eliminamos $t$ y $\theta$ y obtenemos $$(x-2(z/3))^2+(y-3(z/3))^2=5(z/3)^2.$$ es decir $$9x^2+9y^2+8z^2-12xz-18yz=0.$$