Algebra Problema de Polinomios

Question

Hay un problema sobre polinomios. Sea $p$ un polinomio complejo con grado $m$. Supongamos que existen $x_0, x_1,...,x_m$ números reales distintos tales que $p(x_i)$ son números reales para $i=0,1,..,m$. Demuestra que todos los coeficientes de $p$ son reales.

¿Existe algún conocimiento teórico para este problema? No he visto este tipo de problema antes.

Answer 1

Pista: sea $y_i=p(x_i) \in \mathbb{R}$. Las $m+1$ ecuaciones:

$$a_0 + a_1 x+i + a_2 x_i^2 + \cdots + a_m x_i^m = y_i \quad \quad i = 0,1,\cdots,m$$

forman un sistema lineal con $m+1$ incógnitas $a_0,a_1,\cdots,a_m$. El sistema está determinado de manera única ya que su determinante es el de una matriz de Vandermonde con entradas distintas $x_i \ne x_j$. Dado que todos los coeficientes $x_i,y_i$ son reales, la solución del sistema también es real, por lo que todos los $a_j$ son reales, y así también lo es $p(x)$.

Como comentario adicional, la solución obtenida de esta manera es precisamente el polinomio interpolante a través de los puntos $(x_i,y_i)$ como sugirió @Ben en un comentario.

Answer 2

Por CRT = Teorema Chino del Resto el sistema $\, p \equiv r_i\pmod{x\!-x_i}$ tiene una solución única $\, p\in \Bbb R[x]\,$ de grado $\,\le m.\,$ Esto persiste como la única solución en $\,\Bbb C[x].$

Answer 3

Pista: Considera el caso donde $m=2$. En este caso, $p(x)=ax^2+bx+c$. Supongamos que $x_0$, $x_1$ y $x_2$ son números reales distintos tales que $p(x_i)$ también es real.

Entonces, $$ p(x_2)-p(x_1)=a(x_2^2-x_1^2)-b(x_2-x_1)=(x_2-x_1)(a(x_2+x_1)+b). $$ Dado que $p(x_2)$, $p(x_1)$ y $x_2-x_1$ son reales, $a(x_2+x_1)+b$ también es real. De manera similar, $a(x_1+x_0)+b$ también es real.

Dado que $a(x_2+x_1)+b$ y $a(x_1+x_0)+b$ son reales, $$ a(x_2+x_1)+b-(a(x_1+x_0)+b)=a(x_2-x_0) $$ también es real. Dado que $x_2-x_0$ es real, $a$ también es real. Dado que $a$ es real y $a(x_2+x_1)+b$ es real, $b$ es real, ya que $ax_2^2+bx_2+c$ es real y $a$, $b$ y $x_2$ son reales, entonces $c$ también es real.