Prueba de teoría de conjuntos con complementos

Question

Si $A \cap B = \emptyset$ entonces $A \subset B'$ y $B \subset A'$, donde el símbolo prima denota el complemento de cada conjunto.

Aquí están mis pensamientos:

Supongamos que $A \cap B = \emptyset$, dado que la intersección de $A$ y $B$ es vacía, entonces un elemento arbitrariamente elegido $x \notin A$ y $x \notin B.$ Por lo tanto $x \in A'$ y $x \in B'$.

¿Cómo puedo justificar que $A \subset B'$ y $B \subset A'$?

Quizás una demostración directa no sea la mejor manera de hacerlo. ¿Qué tal una demostración por contradicción?

¡Gracias por cualquier ayuda o guía!

Answer 1

Pista:

Supongamos por ejemplo que

$$a \in A \implies a \notin B \; , \;\; \text{para que no sea} \;\; A \cap B \neq \emptyset \implies a \in B' \implies a \in A \cap B'$$

Answer 2

Para todo $x\in A$, la suposición $x\in B$ lleva a $x\in A\cap B$ contradiciendo que este conjunto esté vacío.

Por lo tanto, concluimos que para todo $x\in A$ tenemos $x\notin B$, lo cual es lo mismo que $x\in B'.

Esto demuestra que $A\subseteq B'$.

Answer 3

Puedes argumentar esto con bastante lógica y directamente, aunque no estoy seguro si estabas buscando esta respuesta.

Supongamos que $$A \subset B'$$ entonces, tomemos un elemento en A, llamado $x$, y por definición: $$(x \in A)\rightarrow(x \notin B)$$ Entonces, usando el equivalente lógico al enunciado de implicación, $$\neg(x \in A) \vee \neg(x\in B)$$ Y con la ley de De Morgan, esto es equivalente a $$\neg[(x\in A) \wedge (x \in B)]$$ lo cual es equivalente a decir $$x \notin A\cap B \rightarrow A\cap B =\emptyset$$