UMVUE de $\theta^2 (1- \theta )$ X es una muestra aleatoria de una distribución de Bernoulli

Question

Sea $X_1, X_2 ..... X_n$ una muestra aleatoria de una distribución de Bernoulli con parámetro $\theta$ , Obtener el UMVUE de $\theta^2 (1- \theta )$

MÉTODO

Calculé que T = $\sum X_i$ es estadísticamente completo y suficiente para $\theta$ , así que pensé en calcular $E( n \bar X^2 (1 - n \bar X) )$

Lo cual es igual a $E( n \bar X^2 ) - E(n \bar X^3)$ El primer término se puede obtener usando la fórmula de la varianza, pero no sé cómo proceder con el segundo término.

Usé la ayuda de una de las preguntas explicadas aquí, usando blackwellisation y obtuve

$\frac{t(t-1)(n-t)}{n(n-1)(n-2)}$ como el UMVUE global, donde $t = \sum X_i$

Answer 1

Su pregunta es cómo encontrar la esperanza de $n\bar X^{k}$ (para $k=3$) cuando $\bar X$ es la media de $n$ variables de Bernoulli independientes e idénticamente distribuidas.

A menos que esté familiarizado con las propiedades de los coeficientes binomiales y sea hábil en álgebra, quizás la forma más sencilla de obtener esto sea a través de la función generadora de probabilidad. Un punto de partida conveniente para este análisis es observar que $Y = n\bar X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ tiene una distribución binomial con parámetros $(n,\theta).$ Eso sugiere expresar $n\bar X^{k}$ en términos de $Y.$ Un álgebra simple nos dice

$$n\bar X^k = n^{1-k} (n\bar X)^k = n^{1-k}Y^k.$$

Por lo tanto, reconociendo que la constante $n^{1-k}$ se factorizará fuera de la esperanza, hemos reducido el problema a encontrar el $k^\text{th}$ momento de $Y.$

La función generadora de probabilidad de $Y$ se da, por definición, como

$$\begin{aligned} p_Y(t) = \sum_{y=0}^n \Pr(Y=y) t^y = \sum_{y=0}^n \binom{n}{y} (1-\theta)^y \theta^y\, t^y = \left(1-\theta + \theta t\right)^n. \end{aligned}\tag{*}$$

La última igualdad es una aplicación del Teorema Binomial.

Sea $D$ el operador diferencial para $t$ y observe que

$$(tD) p_Y(t) = \sum_{y=0}^n \Pr(Y=y)\, tD(t^y) = \sum_{y=0}^n \Pr(Y=y)\, yt^y.$$

Iterando esto $k$ veces nos dice

$$(tD)^kp_Y(t) = \sum_{y=0}^n \Pr(Y=y)\, y^k t^y.$$

Si, después de realizar este cálculo, establecemos $t=1,$ obtenemos

$$(tD)^k p_Y(t)\bigg|_{t=0} = \sum_{y=0}^n \Pr(Y=y)\, y^k = E\left[Y^k\right],$$

según la definición de esperanza. Calcular estas derivadas usando la expresión en $(*)$ nos dice

$$E\left[Y^k\right] = (tD)^k (1-\theta+\theta t)^n\,\bigg|_{t=1}.$$

Aproveche esto calculando derivadas sucesivas usando las reglas de la suma, el producto y la cadena. Como abreviatura, sea $f(t) = (1-\theta + \theta t):

$$\begin{aligned} (tD)^1 (1-\theta+\theta t)^n &= t D(1-\theta+\theta t)^n = nt\theta(1-\theta+\theta t)^{n-1} = n\theta tf(t)^{n-1}; \\ (tD)^2 (1-\theta+\theta t)^n &= (tD) \left(n \theta t f(t)^{n-1}\right) = n t \theta f(t)^{n-1} + n(n-1)t^2\theta^2 f(t)^{n-2}; \\ (tD)^3 (1-\theta+\theta t)^n &= \cdots = n t \theta f(t)^{n-1} + 3n(n-1)t^2\theta^2 f(t)^{n-2} + n(n-1)(n-2)t^3\theta^3 f(t)^{n-3}. \end{aligned}$$

Sustituyendo $t=1$ da

$$\begin{aligned} E[Y] &= n\theta;\\E[Y^2] &= n\theta + n(n-1)\theta^2\\ E[Y^3] &= n\theta + 3n(n-1)\theta^2 + n(n-1)(n-2)\theta^3.\end{aligned}$$

No olvide multiplicar estos por $n^{1-k}$ al calcular la esperanza de $n\bar X^k.$ Puede valer la pena verificar su trabajo calculando las esperanzas para $k=1$ y $k=2,$ que ya conoce.

Para apreciar lo general y práctico que es este enfoque, aquí tiene una función R para calcular estos momentos.

#
# Calcular los momentos Binomiales(n, theta) para k = 0, 1, ..., k.max.
# Requiere que `n` y `k.max` sean números naturales y tenga sentido
# solo para 0 <= theta <= 1 (pero funcionará para cualquier `theta`).
#
momentos <- función(n, theta, k.max) {
  #
  # Aplicar tD a un polinomio a[1] + a[2]*t + a[3]*t^2 + ... + a[n]*t^(n-1).
  # El resultado es 0*a[1] + 1*a[2]*t + 2*a[3]*t^2 + ... + (n-1)*a[n]*t^{n-1},
  # cuyos coeficientes son el producto componente por componente de `a` y 0:(n-1).
  #
  tD <- función(a) a * (seq_along(a) - 1)
  #
  # Evaluar la función generadora de probabilidad y sus derivadas
  # de forma iterativa.
  #
  i <- seq_len(n+1) - 1                           # 0,1, ... n
  a <- elija(n, i) * theta^i * (1 - theta)^(n-i) # (1-theta+theta*t)^n
  c(1, sapply(seq_len(k.max), función(i) sum(a <<- tD(a))))
}