¿Para qué tipos de problemas es útil la regresión cuantílica?

Question

Estoy tratando de aprender más sobre la Regresión Cuantil.

Según entiendo, la Regresión Cuantil se utiliza para estimar el cuantil condicional de una variable de respuesta (dadas las variables predictoras).

Matemáticamente, sea $Y$ la variable de respuesta y $X$ un vector de variables predictoras. El modelo de regresión cuantil-ésimo puede escribirse como:

$$ Q_{Y|X}(\tau) = X\beta(\tau) $$

donde $Q_{Y|X}(\tau)$ es la función cuantil condicional de $Y$ dada $X$, y $\beta(\tau)$ es un vector de parámetros desconocidos que dependen del cuantil $\tau$. El objetivo de la regresión cuantil es estimar los parámetros $\beta(\tau)$ para un valor dado de $\tau$.

Estoy tratando de entender: ¿Para qué tipos de problemas es más adecuada la Regresión Cuantil?

Cuando le pregunté a mi profesor en la escuela, mi profesor indicó que la Regresión Cuantil está destinada a aplicaciones en las que podría estar especialmente interesado en modelar el efecto de los predictores en algún cuantil de la respuesta (por ejemplo, la respuesta mediana) en lugar de la respuesta media.

Pero estoy tratando de entender - ¿en qué tipos de situaciones estarías interesado específicamente en modelar un Cuantil de la Variable de Respuesta en lugar de la Respuesta Media? ¿Hay algunas industrias/ámbitos donde esta exigencia surge naturalmente?

Lo más cercano que se me ocurre son situaciones donde la distribución condicional de la respuesta dadas las variables predictoras puede estar muy sesgada, violando parcialmente las suposiciones de la regresión estándar. En tal caso, creo que podría ser de alguna manera más útil modelar algún cuantil de la respuesta (mediante Regresión Cuantil) en lugar de la respuesta media. ¿Es correcto este razonamiento?

Answer 1

Es una función de distribución acumulativa inversa.

Una función de distribución acumulativa da el área bajo la curva para la derivada de la función de distribución acumulativa, en este caso, la derivada es una función de probabilidad que forma algún tipo de distribución.

Digamos que quiero saber cuál es la probabilidad de que los widgets tengan una tasa de defectos inferior al 10%. Bueno, esa probabilidad está definida como el área bajo esta derivada desde el 10% hasta cero. La función de distribución acumulativa, dado que es la integral de la función de probabilidad, es igual a ese área. Esto es Cálculo 101.

La función de distribución acumulativa inversa, la función Cuantil, te dice el área por debajo de la cual no puedes ir si quieres mantenerte por debajo del 10% de tasa de defectos. Por lo tanto, la fdca y su inversa hacen algo similar desde direcciones opuestas. Esto implica que realmente no importa cuál uses, por lo tanto son inversas. El cálculo llegó a la respuesta desde la izquierda y la estadística llegó a la respuesta desde la derecha, por eso saber cálculo es super importante. Los dos caballeros que lo crearon tuvieron una visión de la pura belleza en una línea principal hacia el universo.

De hecho, siento que las estadísticas avanzadas y las probabilidades deben mucho a los principios del cálculo.