Hay ciertos teoremas en la teoría de grupos finitos cuyas demostraciones involucran teoría de caracteres y para los cuales aún no hay demostraciones libres de caracteres. Entre ellos está el teorema de Frobenius sobre grupos de permutación transitivos. (Otro era el teorema $ pq $ de Burnside; pero ahora hay una demostración teórica de grupos.
Estoy considerando un teorema de este tipo, cuya demostración se basa en el siguiente teorema.
Teorema 1. Un elemento $ g \in G $ es un conmutador si y solo si $ \sum_ {\chi \in {\rm Irr} (G)} \ frac {\ chi (g)} {\ chi (1)} \ neq 0. $
Entonces si $ m $ es un entero primo relativo a $ o (g) = n $ , entonces considera la automorfismo de Galois $ \ sigma $ , que , en raíces n-ésimas de la unidad actúa por $ \ zeta_n \ mapsto \ zeta_n ^ m $ . Entonces $ (\ chi (g)) ^ {\ sigma} = \ chi (g ^ m) $ . Así, si $ g $ es un conmutador, entonces aplicar $ \ sigma $ a la desigualdad en el teorema obtenemos que $ g ^ m $ también es un conmutador. Por lo tanto,
Teorema 2. Si $ g \ in G $ es un conmutador, entonces también lo es $ g ^ m $ para $ (m, o (g)) = 1 $ .
El Teorema 2 es puramente teórico de grupos; pero la demostración involucra argumentos de teoría de caracteres. La pregunta ahora es simple:
Q. ¿Hay una prueba libre de caracteres para el Teorema 2?
(No sé si esta pregunta ha sido considerada antes por alguien).
