La distancia de Banach-Mazur para $\ell_p$ finito-dimensional

Question

Sea $\ell_p$ el espacio de secuencias usual de dimensión infinita, y si $n\in\mathbb{Z}^+$ entonces definimos $\ell_p^n$ como su contraparte de dimensión $n$.

Conjetura. Sea $1\leq p<\infty$. Existe una constante real positiva $C_p\in[1,\infty)$, dependiendo solo de $p$, tal que para cada entero positivo $n\in\mathbb{Z}^+$ existe otro entero positivo $k(n)\in\mathbb{Z}^+$ con la propiedad de que si $F\subseteq\ell_p$ es un subespacio de dimensión $k(n)$ de $\ell_p$, entonces hay una incrustación (un mapa lineal invertible en su rango) $U:\ell_p^n\to F$ con $\|U\|\|U^{-1}\|\leq C_p$ (en otras palabras, $F$ contiene un subespacio de dimensión $n$ con distancia de Banach-Mazur $\leq C_p$ de $\ell_p^n$).

Esto seguramente ya está demostrado, en cuyo caso busco una referencia. El Teorema de Dvoretzky da una respuesta afirmativa cuando $p=2$. Estoy especialmente interesado en el caso $p=1$.

¡Gracias!

Answer 1

Esto no me suena correcto. Tenga en cuenta que para $p\in [1,2)$ el espacio $\ell_p$ contiene copias casi isométricas de $\ell_2^n$ para todos los $n$. De hecho, tome el espacio lineal generado por una secuencia de gaussianas de media cero y varianza cero en $L_p$ que es isométrico a $\ell_2$ y use que $L_p$ es finitamente representable en $\ell_p.

Así, tomando para $F$ copias casi isométricas de $\ell_2^n$ no se puede esperar encontrar $\ell_p^{k(n)}$ en ella a menos que $p=2$.

(Por supuesto, como Theo señaló, esto se extiende a todos los espacios de Banach por el teorema de Dvoretzky.)