Pregunta de tiempo límite

Question

Si $$\lim_{x \to \infty}\frac{a(2x^3-x^2)+b(x^3+5x^2-1)-c(3x^3+x^2)}{a(5x^4-x)-bx^4+c(4x^4+1)+2x^2+5x}=1$$ then find the value of $ a + b + c $. I have done such problems with $x$ tiende a cierta cantidad finita. Infinito está creando algunos problemas.

Answer 1

Considere la posibilidad de $$ \lim_{x \to \infty}\frac{a(2x^3-x^2)+b(x^3+5x^2-1)-c(3x^3+x^2)} {(5x^4-x)-bx^4+c(4x^4+1)+2x^2+5x}=1. $$ reescribir esto como $$ \lim_{x \to \infty}\frac{x^3(2a+b-3c)+x^2(-a+5b-c)-b}{x^4(5a-b+4c)+2x^2+x(-a+5)+c}=1. $$ Mientras la $x^4$ término en el denominador, el límite no puede ser $1$, por lo que el coeficiente de que tiene que ser $0$. Así, obtenemos $$5a-b+4c=0.$$ Ahora lo mismo debe suceder en el numerador, el coeficiente de $x^3$ plazo tiene que ser cero. Así tenemos $$2a+b-3c=0.$$ Esto nos lleva a $$ \lim_{x \to \infty}\frac{x^2(-a+5b-c)-b}{2x^2+x(-a+5)+c}=1. $$ Ahora dividir tanto el numerador y el denominador por $x^2$ y utilice el hecho de que $1/x$ $1/x^2 \to 0$ $x \to \infty$ para obtener

$$ \frac{-a+5b-c}{2}=1. $$ Ahora tienes tres ecuaciones en $a,b$ $c$ a resolver.

Answer 2

sugerencia: $2a+b-3c = 0 = 5a-b+4c, -a + 5b - c = 2$, se puede resolver para $a,b,c$.