Tengo esta EDO inhomogénea $$y'''-y''+y'-y= 2e^{ \omega x} $$ donde $ \omega \in \mathbb{R} $
Quiero encontrar la solución general real a esta.
El problema comienza al principio:
El polinomio característico es $ \lambda^3- \lambda^2 + \lambda - 1 = 0 $
entonces $ \lambda_1= 1, \lambda_2= i, \lambda_3=-i $
¿Cómo llego a la solución real? ¡cualquier ayuda es muy apreciada!
Para $\omega \neq 1$ buscamos una integral particular (PI) buscamos una solución de la forma $y_{PI}(x)=Ce^{\omega x}$ y sustituyendo en la ecuación diferencial obtenemos $C= \frac{2}{(\omega -1)({\omega}^{2}+1)}$. Luego, usando la fórmula de Euler $e^{i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)$ tenemos que la solución general es $y(x)=\frac{2e^{\omega x}}{(\omega -1)({\omega}^{2}+1)}+c_{1}cos(x)+c_{2}sin(x)+c_{3}e^{x}$.
Para $\omega=1$ buscamos una integral particular de la forma $y=Bxe^{x}$ y al sustituir en la ODE se obtiene B=1 y por lo tanto la solución general en este caso es $y(x)=c_{1}cos(x)+c_{2}sin(x)+c_{3}e^{x}+xe^{x}$.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
